Question

5．已知函數(shù)f（x）=b•a^x（其中a，b為常數(shù)，且a＞0，a≠1）的圖象經(jīng)過點A（1，6），B（3，24）
（1）求f（x）的表達式；
（2）若不等式a^x+b^x-m（ab）^x≥0在x∈（-∞，1]時恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）直接代入，求解即可；
（2）不等式可整理為m≤$（\frac{1}{3}）^{x}$+$（\frac{1}{2}）^{x}$，構(gòu)造函數(shù)h（x）=$（\frac{1}{3}）^{x}$+$（\frac{1}{2}）^{x}$，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最小值即可．

解答 解：（1）∵圖象經(jīng)過點A（1，6），B（3，24）
∴ab=6，a³b=24，
∴a=2，b=3，
∴f（x）=2•3^x；
（2）a^x+b^x-m（ab）^x≥0在x∈（-∞，1]時恒成立，
∴2^x+3^x≥m2^x3^x，
∴m≤$（\frac{1}{3}）^{x}$+$（\frac{1}{2}）^{x}$，
令h（x）=$（\frac{1}{3}）^{x}$+$（\frac{1}{2}）^{x}$，顯然在定義域內(nèi)遞減，
∴h（x）的最小值為f（1）=$\frac{5}{6}$，
∴m≤$\frac{5}{6}$，

點評 本題考查了抽象函數(shù)參數(shù)的求解和恒成立問題的轉(zhuǎn)化，屬于常規(guī)題型，應(yīng)熟練掌握．