Question

17．設函數(shù)f（x）=（x-t）lnx-1（t∈R，t為常數(shù)），已知f（x）在x=1處的切線平行于x軸．
（Ⅰ）求常數(shù)t的值；
（Ⅱ）（i）證明函數(shù)f（x）恰有兩個零點x₁＜x₂；
（ii）設g（x）=f（x）+lnx+1，是否存在最小的正常數(shù)m，使得：當a＞m時，對于任意正實數(shù)x，不等式g（x+a）＜g（a）e^x恒成立？

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f（x）的導數(shù)，求得切線的斜率，代入x=1可得切線的斜率為0，解方程可得t=1；
（Ⅱ）（i）求出函數(shù)的導數(shù)，判斷函數(shù)的單調性，運用零點存在定理，即可判斷零點個數(shù)；
（ii）這樣的最小正常數(shù)m存在．由g（x）=f（x）-lnx-1=xlnx，由g（x+a）＜g（a）e^x得（a+x）ln（a+x）＜alna•e^x即$\frac{{（{a+x}）ln（{a+x}）}}{{{e^{x+a}}}}＜\frac{alna}{e^a}$，設$h（x）=\frac{xlnx}{e^x}$，則問題就是否存在最小的正常數(shù)m，使得當a＞m時，對于任意正實數(shù)x，不等式h（x+a）＜h（a）恒成立．求出h（x）的導數(shù)，求得單調區(qū)間，極值、最值，運用單調性即可判斷．

解答 解：（Ⅰ）由f（x）=（x-t）lnx-1得$f'（x）=\frac{x-t}{x}+lnx$，
由f（x）在x=1處的切線平行于x軸知，f'（1）=1-t=0，
所以t=1．
（Ⅱ）（i）證明：由（Ⅰ）知t=1，所以$f'（x）=\frac{x-1}{x}+lnx$，
所以$f''（x）=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x}＞0$，
所以f'（x）是增函數(shù)，又因為f'（1）=0，
所以當x∈（0，1）時f'（x）＜f'（1）=0，所以f（x）在（0，1）上單調遞減，
當x∈（1，+∞）時f′（x）＞f′（1）=0，所以f（x）在（1，+∞）上單調遞增，
又因為$f（{\frac{1}{e^2}}）=（{\frac{1}{e^2}-1}）ln\frac{1}{e^2}-1=1-\frac{2}{e^2}＞0，f（1）=-1＜0，f（e）=（{e-1}）lne-1=e-2＞0$，
即$f（{\frac{1}{e^2}}）f（1）＜0，f（1）f（e）＜0$，
所以f（x）在（0，1）和（1，+∞）上各有一個零點，
即函數(shù)f（x）恰有兩個零點x₁＜x₂，且滿足0＜x₁＜1＜x₂＜e．
（ii）這樣的最小正常數(shù)m存在．
理由：g（x）=f（x）-lnx-1=xlnx，
所以由g（x+a）＜g（a）e^x得（a+x）ln（a+x）＜alna•e^x
即$\frac{{（{a+x}）ln（{a+x}）}}{{{e^{x+a}}}}＜\frac{alna}{e^a}$，
設$h（x）=\frac{xlnx}{e^x}$，則問題就是否存在最小的正常數(shù)m，
使得當a＞m時，對于任意正實數(shù)x，不等式h（x+a）＜h（a）恒成立．
因為$h'（x）=\frac{{（{1+lnx}）{e^x}-xlnx{e^x}}}{{{e^{2x}}}}=-f（x）{e^x}$，
由（i）知f（x）在（0，1）和（1，+∞）上各有一個零點，
即0＜x₁＜1＜x₂＜e，
且f（x）在（0，1）上單調遞減，在（1，+∞）上單調遞增
所以當x∈（0，x₁）時f（x）＞0，
h′（x）=-f（x）e^x＜0，h（x）在（0，x₁）上單調遞減，
當x∈（x₁，x₂）時f（x）＜0，h'（x）=-f（x）e^x＞0，
h（x）在（x₁，x₂）上單調遞增．
當x∈（x₂，+∞）時f（x）＞0，h'（x）=-f（x）e^x＜0，
h（x）在（x₂，+∞）上單調遞減．
注意到h（1）=0，當x∈（0，1）時h（x）＜0時；
當x∈（1，+∞）時h（x）＞0，
則h（x₂）是函數(shù)的極大值，也是最大值．
題目要找的m=x₂，理由是：當a＞x₂時，對于任意正實數(shù)x，x+a＞a＞x₂，
而h（x）在（x₂，+∞）上單調遞減，
所以h（x+a）＜h（a）一定恒成立，說明m≤x₂；
另一方面，當0＜a＜x₂，取x=x₂-a，顯然x＞0且h（x+a）=h（x₂）＞h（a）
題目所要求的不等式不恒成立，說明m不能比x₂小．
綜上可知，題目所要尋求的最小正常數(shù)m就是x₂，即存在最小正常數(shù)m=x₂，
當a＞m時，對于任意正實數(shù)x，不等式g（x+a）＜g（a）e^x恒成立．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求切線方程和單調區(qū)間、極值和最值，同時考查函數(shù)的零點存在定理和函數(shù)的單調性的運用，屬于中檔題．