Question

19．已知向量$\overrightarrow{m}$=（sinA，cosA），$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，1），$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=$\sqrt{3}$，且A為銳角．
（1）求角A的大小；
（2）求函數(shù)f（x）=cos2x+8sinAsinx（x∈R）的值域．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=$\sqrt{3}$列出方程解出A；
（2）使用二倍角公式化簡f（x）=-2（sinx-1）²+3，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得出f（x）的最值．

解答 解：（Ⅰ）∵$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=$\sqrt{3}$sinA+cosA=2sin（A+$\frac{π}{6}$）=$\sqrt{3}$，
∴$sin（A+\frac{π}{6}）=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∵A為銳角，∴$A+\frac{π}{6}=\frac{π}{3}$，$A=\frac{π}{6}$．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知$sinA=\frac{1}{2}$，
∴f（x）=cos2x+4sinx=1-2sin²x+4sinx=-2（sinx-1）²+3，
∵x∈R，∴sinx∈[-1，1]，
∴當(dāng)sinx=1時，f（x）有最大值3；
當(dāng)sinx=-1時，f（x）有最小值-5，
∴函數(shù)f（x）的值域是[-5，3]．

點評 本題考查了三角函數(shù)的恒等變換，三角函數(shù)化簡求值，一元二次函數(shù)的最值，屬于中檔題．