Question

13．已知數(shù)列{a_n}是公差為d的等差數(shù)列，{b_n}是公比為q（q∈R，q≠1，q≠0）的等比數(shù)列．若a₁=（d-2）²，a₃=d²，b₁=（q-2）²，b₃=q²．
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列{c_n}對(duì)任意自然數(shù)n均有$\frac{c_1}{b_1}+\frac{c_2}{{2{b_2}}}+\frac{c_3}{{3{b_3}}}+…+\frac{c_n}{{n{b_n}}}={a_{n+1}}$，求c₁+c₃+c₅+…+c_2n-1的值．

Answer 1

分析 （1）利用a₃-a₁=2d，計(jì)算可知d=2，進(jìn)而可知a_n=2（n-1）；利用$\frac{b_3}{b_1}={q^2}$，計(jì)算可知q=3，進(jìn)而可知${b_n}={3^{n-1}}$；
（2）通過(guò)$\frac{c_1}{b_1}+\frac{c_2}{{2{b_2}}}+\frac{c_3}{{3{b_3}}}+…+\frac{{{c_{n-1}}}}{{（n-1）{b_{n-1}}}}+\frac{c_n}{{n{b_n}}}={a_{n+1}}$與$\frac{c_1}{b_1}+\frac{c_2}{{2{b_2}}}+\frac{c_3}{{3{b_3}}}+…+\frac{{{c_{n-1}}}}{{（n-1）{b_{n-1}}}}={a_n}$作差可知${c_n}=2n{b_n}=2n•{3^{n-1}}$（c₁=b₁a₂=2適合），問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求T=c₁+c₃+c₅+…+c_2n-1，利用錯(cuò)位相減法計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：（1）∵a₃-a₁=2d，
∴d²-（d-2）²=2d，解得 d=2．
∴a₁=0，∴a_n=2（n-1）．
∵$\frac{b_3}{b_1}={q^2}$，∴${q^2}=\frac{q^2}{{{{（q-2）}^2}}}$．
∵q≠0，q≠1，∴q=3．
又b₁=1，∴${b_n}={3^{n-1}}$．
（2）由題設(shè)知 $\frac{c_1}{b_1}={a_2}$，∴c₁=a₂b₁=2．
當(dāng)n≥2時(shí)，$\frac{c_1}{b_1}+\frac{c_2}{{2{b_2}}}+\frac{c_3}{{3{b_3}}}+…+\frac{{{c_{n-1}}}}{{（n-1）{b_{n-1}}}}+\frac{c_n}{{n{b_n}}}={a_{n+1}}$，
$\frac{c_1}{b_1}+\frac{c_2}{{2{b_2}}}+\frac{c_3}{{3{b_3}}}+…+\frac{{{c_{n-1}}}}{{（n-1）{b_{n-1}}}}={a_n}$，
 兩式相減，得$\frac{c_n}{{n{b_n}}}={a_{n+1}}-{a_n}=2$．
∴${c_n}=2n{b_n}=2n•{3^{n-1}}$（c₁=b₁a₂=2適合）．
設(shè)T=c₁+c₃+c₅+…+c_2n-1，
∴T=2+6•3²+10•3⁴+…+（4n-2）•3^2n-2，
3²T=2•3²+6•3⁴+10•3⁶+…+（4n-6）•3^2n-2+（4n-2）•3²ⁿ，
兩式相減，得-8T=2+4•3²+4•3⁴+…+4•3^2n-2-（4n-2）•3²ⁿ
=$2+4•\frac{{9（{9^{n-1}}-1）}}{9-1}-（4n-2）•{9^n}$
=$2+\frac{1}{2}•{9^n}-\frac{9}{2}-（4n-2）•{9^n}$
=$-\frac{5}{2}+\frac{5}{2}•{9^n}-4n•{9^n}$．
∴$T=\frac{5}{16}+（\frac{n}{2}-\frac{5}{16}）•{9^n}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．