Question

4．如圖所示，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別是棱DD₁、C₁D₁的中點(diǎn)．
（1）求直線BE和平面ABB₁A₁所成角θ的正弦值；
（2）證明：B₁F∥平面A₁BE．

Answer 1

分析 （1）取AA₁的中點(diǎn)G，并連接GE，BG，從而可說(shuō)明∠EBG為直線BE和平面ABB₁A₁所成角，從而θ=∠EBG，可設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為a，在直角三角形EBG中，即可求出sinθ=$\frac{GE}{BE}$；
（2）連接FE，C₁D，AB₁，并設(shè)AB₁交AB₁于H，連接EH，容易說(shuō)明四邊形B₁FEH為平行四邊形，從而得到B₁F∥HE，根據(jù)線面平行的判定定理即可得出直線B₁F∥平面A₁BE．

解答 解：（1）如圖，設(shè)G是AA₁的中點(diǎn)，連接GE，BG；
∵E為DD₁的中點(diǎn)，ABCD-A₁B₁C₁D₁為正方體；
∴GE∥AD，又∵AD⊥平面ABB₁A₁；
∴GE⊥平面ABB₁A₁；
∴Rt△BEG中的∠EBG是直線BE和平面ABB₁A₁所成角，即∠EBG=θ；
設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，∴GE=a，$BG=\frac{{\sqrt{5}}}{2}a$，$BE=\sqrt{B{G^2}+G{E^2}}=\frac{3}{2}a$；
∴直線BE和平面ABB₁A₁所成角θ的正弦值為：sinθ=$\frac{GE}{BE}=\frac{2}{3}$；
（2）證明：如圖，連接EF、AB₁、C₁D，記AB₁與A₁B的交點(diǎn)為H，連接EH；

∵H為AB₁的中點(diǎn)，且B₁H=$\frac{1}{2}$C₁D，B₁H∥C₁D；
而EF=$\frac{1}{2}$C₁D，EF∥C₁D；
∴B₁H∥EF且B₁H=EF；
∴四邊形B₁FEH為平行四邊形；
∴B₁F∥HE；
又∵B₁F?平面A₁BE，HE?平面A₁BE；
∴B₁F∥平面A₁BE．

點(diǎn)評(píng) 考查平行線中一條垂直于一個(gè)平面，另一條也垂直于這個(gè)平面，線面角的定義及求法，正弦函數(shù)的定義，平行四邊形的定義，以及線面平行的判定定理．