Question

4．已知F為拋物線y²=4x的焦點(diǎn)，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線上，且$\overrightarrow{FA}$+$\overrightarrow{FB}$+$\overrightarrow{FC}$=$\overrightarrow{0}$．
（1）求|$\overrightarrow{FA}$|+|$\overrightarrow{FB}$|+|$\overrightarrow{FC}$|的值；
（2）設(shè)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，記△OFA、△OFB、△OFC的面積分別為S₁、S₂、S₃，判斷S₁+S₂+S₃有無(wú)最大值，若有，求出最大值；若沒(méi)有，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)$\overrightarrow{FA}$+$\overrightarrow{FB}$+$\overrightarrow{FC}$=$\overrightarrow{0}$，可判斷點(diǎn)F是△ABC重心，進(jìn)而可求x₁+x₂+x₃的值，再根據(jù)拋物線的定義，即可求得答案．
（2）表示出面積，利用y₁+y₂+y₃=0，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)F（1，0），準(zhǔn)線方程：x=-1
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃）
∵$\overrightarrow{FA}$+$\overrightarrow{FB}$+$\overrightarrow{FC}$=$\overrightarrow{0}$，
∴點(diǎn)F是△ABC重心，
∴x₁+x₂+x₃=3，
∵|FA|=x₁-（-1）=x₁+1，|FB|=x₂-（-1）=x₂+1，|FC|=x₃-（-1）=x₃+1
∴|$\overrightarrow{FA}$|+|$\overrightarrow{FB}$|+|$\overrightarrow{FC}$|=x₁+1+x₂+1+x₃+1=（x₁+x₂+x₃）+3=3+3=6
（2）如圖所示，∵拋物線y²=4x的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為F（1，0），點(diǎn)F（1，0）是△ABC的重心．
∴S₁=$\frac{1}{2}$|y₁|，S₂=$\frac{1}{2}$|y₂|，S₃=$\frac{1}{2}$|y₃|
∴S₁+S₂+S₃=$\frac{1}{2}$（-y₁+y₂-y₃）=y₂，
∴S₁+S₂+S₃無(wú)最大值．

點(diǎn)評(píng) 本題重點(diǎn)考查拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是判斷出F點(diǎn)為三角形的重心．