Question

5．在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A，B，C三點(diǎn)滿足$\overrightarrow{OC}$=$\frac{5}{3}$$\overrightarrow{OA}$-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{OB}$．
（1）求證：A，B，C三點(diǎn)共線，并求$\frac{|\overrightarrow{AC|}}{|\overrightarrow{BC|}}$的值；
（2）設(shè)A（1，sinx），B（1+cosx，2sinx），x∈R，求函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用向量的三角形法則、向量共線定理即可證明；
（2）利用數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、三角函數(shù)的單調(diào)性、二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 （1）證明：∵A，B，C三點(diǎn)滿足$\overrightarrow{OC}$=$\frac{5}{3}$$\overrightarrow{OA}$-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{OB}$，∴$\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}+\frac{2}{3}（\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}）$，
化為$\overrightarrow{AC}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BA}$，
∴A，B，C三點(diǎn)共線，
∵$\overrightarrow{AC}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BA}$，
∴$\overrightarrow{AC}$=$\frac{2}{3}$$（\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{CB}）$，
化為$\frac{5}{3}\overrightarrow{AC}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}$，
∴$\frac{|\overrightarrow{AC|}}{|\overrightarrow{BC|}}$=$\frac{2}{5}$．
（2）解：f（x）=$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=1+cosx+2sin²x
=1+cosx+2（1-cos²x）
=-2$（cosx-\frac{1}{4}）^{2}$+$\frac{25}{8}$≤$\frac{25}{8}$，
當(dāng)cosx=$\frac{1}{4}$時(shí)，f（x）取得最大值$\frac{25}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量的三角形法則、向量共線定理、數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、三角函數(shù)的單調(diào)性、二次函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．