Question

20．已知直線x-y+1=0經(jīng)過(guò)橢圓S：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1（a＞b＞o）$的一個(gè)焦點(diǎn)和一個(gè)頂點(diǎn)．如圖，M，N分別是橢圓S的頂點(diǎn)，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交橢圓于P、A兩點(diǎn)，其中P在第一象限，過(guò)P作x軸的垂線，垂足為C，連接AC，并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)B，設(shè)直線PA的斜率為k．
（Ⅰ）若直線PA平分線段MN，求k的值；
（Ⅱ）對(duì)任意k＞0，求證：PA⊥PB．

Answer 1

分析 （I）在直線x-y+1=0中，分別令x=0，y=0，可得c=b=1，a²=b²+c²，即可得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得線段MN的中點(diǎn)坐標(biāo)，可得k．
（II）將直線PA方程y=kx代入橢圓方程，解得：x=±$\frac{2}{\sqrt{1+2{k}^{2}}}$，令$\frac{2}{\sqrt{1+2{k}^{2}}}$=m，P（m，mk），A（-m，-mk），于是C（m，0），直線AB方程為y=$\frac{k}{2}$（x-m），代入橢圓方程得（k²+2）x²-2k²mx+k²m²-8=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得：B．只要證明$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{PB}$=0，即可證明．

解答 解：（I）在直線x-y+1=0中，令x=0得y=1；令y=0得x=-1，由題意得c=b=1，
∴a²=2，
則橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1．
M（-$\sqrt{2}$，0），N（0，-1），
線段MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為$（-\frac{\sqrt{2}}{2}，-\frac{1}{2}）$，∴k=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（II）將直線PA方程y=kx代入橢圓方程，
解得：x=±$\frac{2}{\sqrt{1+2{k}^{2}}}$，令$\frac{2}{\sqrt{1+2{k}^{2}}}$=m，
則P（m，mk），A（-m，-mk），于是C（m，0），
故直線AB方程為y=$\frac{0+mk}{m+m}$（x-m）=$\frac{k}{2}$（x-m），
代入橢圓方程得（k²+2）x²-2k²mx+k²m²-8=0，由x_B+x_A=$\frac{2{k}^{2}m}{{k}^{2}+2}$，
因此B$（\frac{3m{k}^{2}+2m}{{k}^{2}+2}，\frac{m{k}^{3}}{{k}^{2}+2}）$．
∴$\overrightarrow{AP}$=（2m，2mk），$\overrightarrow{PB}$=$（\frac{2m{k}^{2}}{{k}^{2}+2}，\frac{-2mk}{{k}^{2}+2}）$．
∴$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{PB}$=$\frac{4{m}^{2}{k}^{2}}{{k}^{2}+2}$-$\frac{4{m}^{2}{k}^{2}}{{k}^{2}+2}$=0，
∴$\overrightarrow{AP}⊥\overrightarrow{PB}$，因此PA⊥PB．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交、根與系數(shù)的關(guān)系、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系、向量中點(diǎn)坐標(biāo)公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．