19．設函數(shù)f（x）=（x-a）2+（lnx2-2a）2，其中x＞0，a∈R，存在x0使得f（x0）$≤\frac{4}{5}$成立，則實數(shù)a值是（　　）
A．$\frac{1}{5}$B．$\frac{2}{5}$C．$\frac{1}{2}$D．1

分析 把函數(shù)看作是動點M（x，lnx2）與動點N（a，2a）之間距離的平方，利用導數(shù)求出曲線y=2lnx上與直線y=2x平行的切線的切點，得到曲線上點到直線距離的最小值，結(jié)合題意可得只有切點到直線距離的平方等于$\frac{4}{5}$，然后由兩直線斜率的關(guān)系列式求得實數(shù)a的值．

解答 解：函數(shù)f（x）可以看作是動點M（x，lnx2）與動點N（a，2a）之間距離的平方，
動點M在函數(shù)y=2lnx的圖象上，N在直線y=2x的圖象上，
問題轉(zhuǎn)化為求直線上的動點到曲線的最小距離，
由y=2lnx得，y'=$\frac{2}{x}$=2，解得x=1，
∴曲線上點M（1，0）到直線y=2x的距離最小，最小距離d=$\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
則f（x）≥$\frac{4}{5}$，
根據(jù)題意，要使f（x0）≤$\frac{4}{5}$，則f（x0）=$\frac{4}{5}$，此時N恰好為垂足，
由kMN=$\frac{2a-0}{a-1}=\frac{2a}{a-1}=-\frac{1}{2}$，解得a=$\frac{1}{5}$．
故選：A．

點評 本題考查利用導數(shù)求曲線上過某點切線的斜率，考查了數(shù)形結(jié)合和數(shù)學轉(zhuǎn)化思想方法，訓練了點到直線的距離公式的應用，是中檔題．

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

9．已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的部分圖象如圖所示．
（1）求函數(shù)f（$\frac{α}{2π}$）=$\frac{1}{3}$，求cos（$\frac{2π}{3}$-α）的值；
（2）若在x∈[0，a]（a＞0）上函數(shù)存在2個最大值，試求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

10．已知橢圓的焦點在x軸上，短軸長為2，離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，直線l：y=-2，任取橢圓上一點P（異于短軸端點M，N）直線MP，NP分別交直線l于點T，S，則|ST|的最小值是（　�。�
A．2$\sqrt{3}$B．4$\sqrt{2}$C．4$\sqrt{3}$D．8$\sqrt{2}$

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

7．已知函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+c，過曲線y=f（x）上的點P（1，f（1））的切線方程為y=3x+1，y=f（x）在x=-2時有極值．
（1）求f（x）的表達式；
（2）求f（x）在[-3，1]上的單調(diào)區(qū)間和最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

14．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的離心率為e=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，過焦點且垂直于長軸的弦長為$\sqrt{2}$．
（Ⅰ）求橢圓C的方程：
（Ⅱ）斜率為k的真線l經(jīng)過橢圓C的右焦點F且與橢圓交于不同的兩點A，B設$\overrightarrow{FA}=λ\overrightarrow{FB}$λ∈（-2，-1），求直線l斜率k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

4．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，側(cè)面PCD⊥底面ABCD（1）若M，N分別為PC，BD的中點，求證：MN∥平面PAD；
（2）求證：平面PAD⊥平面PCD；
（3）若PD=CD=$\frac{\sqrt{2}}{2}PC$，求四棱錐P-ABCD的體積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

11．已知x＞0，求證：7-x-$\frac{9}{x}$≤1．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

8．已知集合A={x|$\frac{2x+1}{x+2}$＜1，x∈R}，函數(shù)f（x）=|mx+1|（m∈R），函數(shù)g（x）=x2+ax+b（a，b∈R）的值域為[0，+∞）．
（1）若不等式f（x）≤3的解集為A，求m的值；
（2）在（1）的條件下，若|f（x）-2f（$\frac{x}{2}$）|≤k恒成立，求k的取值范圍；
（3）若關(guān)于x的不等式g（x）＜c的解集為（m，m+6），求實數(shù)c的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

9．某幾何體的三視圖如圖所示，圖中3個三角表均為直角三角形，則該幾何體的體積的最大值$\frac{1}{2}$．

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