Question

4．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，側(cè)面PCD⊥底面ABCD（1）若M，N分別為PC，BD的中點，求證：MN∥平面PAD；
（2）求證：平面PAD⊥平面PCD；
（3）若PD=CD=$\frac{\sqrt{2}}{2}PC$，求四棱錐P-ABCD的體積．

Answer 1

分析 （1）如圖所示，連接AC，由底面ABCD是正方形，N是AC的中點，利用三角形的中位線定理可得：MN∥PA，再利用線面平行的判定定理可得MN∥平面PAD；
（2）利用線面垂直的性質(zhì)定理可得：AD⊥平面PCD，即可證明平面PAD⊥平面PCD；
（3）由PD=CD=$\frac{\sqrt{2}}{2}PC$，可得PD⊥CD，PD⊥平面ABCD．即可得出四棱錐P-ABCD的體積V=$\frac{1}{3}•PD•{S}_{正方形ABCD}$．

解答 （1）證明：如圖所示，連接AC，由底面ABCD是正方形，
∴N是AC的中點，
在△PAC中，又PM=MC，
∴MN∥PA，
又PA?平面PAD，MN?平面PAD，
∴MN∥平面PAD；
（2）證明：∵側(cè)面PCD⊥底面ABCD，側(cè)面PCD∩底面ABCD=CD，AD⊥DC，
∴AD⊥平面PCD，
又AD?平面PAD，
∴平面PAD⊥平面PCD；
（3）解：由PD=CD=$\frac{\sqrt{2}}{2}PC$，
∴PD²+CD²=PC²，
∴PD⊥CD，
平面PCD∩平面ABCD=CD，
∴PD⊥平面ABCD．
∴四棱錐P-ABCD的體積V=$\frac{1}{3}•PD•{S}_{正方形ABCD}$=$\frac{1}{3}×$2×2²=$\frac{8}{3}$．

點評 本題考查了線面面面垂直的判定與性質(zhì)定理、線面平行的判定定理、四棱錐的體積計算公式、勾股定理的逆定理，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．