Question

14．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的離心率為e=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，過焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)為$\sqrt{2}$．
（Ⅰ）求橢圓C的方程：
（Ⅱ）斜率為k的真線l經(jīng)過橢圓C的右焦點(diǎn)F且與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A，B設(shè)$\overrightarrow{FA}=λ\overrightarrow{FB}$λ∈（-2，-1），求直線l斜率k的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過離心率為e，及a²-b²=c²，可知b=c，再利用過焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)為$\sqrt{2}$，可得b=1，$a=\sqrt{2}$，從而可得橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為：y=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯(lián)立直線與橢圓方程，根據(jù)韋達(dá)定理及$\overrightarrow{FA}=λ\overrightarrow{FB}$，可得y₁=λy₂，通過化簡(jiǎn)，解不等式$-\frac{1}{2}＜\frac{-4}{1+2{k}^{2}}＜0$即可．

解答 解：（Ⅰ）∵離心率為e=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，∴$a=\sqrt{2}c$，
又∵a²-b²=c²，∴b=c，
∵過焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)為$\sqrt{2}$，
∴$\frac{2^{2}}{a}=\frac{2^{2}}{\sqrt{2}b}=\sqrt{2}b=\sqrt{2}$，
∴b=1，$a=\sqrt{2}$，
∴橢圓C的方程為：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（Ⅱ）根據(jù)題意，設(shè)直線l的方程為：y=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立直線與橢圓方程$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\\{y=k（x-1）}\end{array}\right.$，消去x，得（1+2k²）y²+2ky-k²=0，
根據(jù)韋達(dá)定理，得y₁+y₂=$-\frac{2k}{1+2{k}^{2}}$，y₁+y₂=$-\frac{{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，
∵$\overrightarrow{FA}=λ\overrightarrow{FB}$，∴y₁=λy₂，
∴$\frac{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}}{{y}_{1}{y}_{2}}=λ+\frac{1}{λ}+2=\frac{-4}{1+2{k}^{2}}$，
∵$λ+\frac{1}{λ}+2$在（-2，-1）上位增函數(shù)，∴$λ+\frac{1}{λ}+2$$∈（-\frac{1}{2}，0）$，
解不等式$-\frac{1}{2}＜\frac{-4}{1+2{k}^{2}}＜0$，得$k＞\frac{\sqrt{14}}{2}$或$k＜-\frac{\sqrt{14}}{2}$，
∴所求直線l斜率k的取值范圍為：$k＞\frac{\sqrt{14}}{2}$或$k＜-\frac{\sqrt{14}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，韋達(dá)定理，向量共線，函數(shù)的單調(diào)性，解不等式，注意解題方法的積累，屬于中檔題．