Question

7．已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c，過曲線y=f（x）上的點P（1，f（1））的切線方程為y=3x+1，y=f（x）在x=-2時有極值．
（1）求f（x）的表達(dá)式；
（2）求f（x）在[-3，1]上的單調(diào)區(qū)間和最大值．

Answer 1

分析 （1）由f（x）=x³+ax²+bx+c求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)幾何意義結(jié)合切線方程及函數(shù)f（x）在x=-2時有極值即可列出關(guān)于a，b，c的方程，求得a，b，c的值，從而得到f （x）的表達(dá)式．
（2）先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x），通過f′（x）＞0，及f′（x）＜0，得出函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)一步得出函數(shù)的最值即可．

解答 解：（1）由f（x）=x³+ax²+bx+c求導(dǎo)數(shù)得f′（x）=3x²+2ax+b
過y=f（x）上點P（1，f（1））的切線方程為：y-f（1）=f′（1）（x-1）即y-（a+b+c+1）=（3+2a+b）（x-1）
故$\left\{\begin{array}{l}3+2a+b=3\\ a+b+c-2=1\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}2a+b=0…①\\ a+b+c=3…②\end{array}\right.$
∵有y=f（x）在x=-2時有極值，故f′（-2）=0
∴-4a+b=-12…③
由①②③相聯(lián)立解得a=2，b=-4，c=5
f（x）=x³+2x²-4x+5．
（2）f′（x）=3x²+2ax+b=3x²+4x-4=（3x-2）（x+2）

x	-3	（-3，-2）	-2	$（-2，\frac{2}{3}）$	$\frac{2}{3}$	$（\frac{2}{3}，1）$	1
f′（x）		+	0	-	0	+
f（x）	8	增函數(shù)	極大值13	減函數(shù)	極小值	增函數(shù)	4

f（x）_極大=f（-2）=（-2）³+2（-2）²-4（-2）+5=13f（1）=1³+2×1-4×1+5=4
∴f（x）在[-3，1]上最大值為13．
函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間（-3，-2），$（\frac{2}{3}，1）$；單調(diào)減區(qū)間為：$（-2，\frac{2}{3}）$．

點評 本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性等基本知識，考查計算能力，屬于中檔題．