Question

已知拋物線y²=4x，點(diǎn)M（1，0）關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為N，直線l過(guò)點(diǎn)M交拋物線于A，B兩點(diǎn)，
（1）證明：直線NA，NB的斜率互為相反數(shù)；
（2）求△ANB面積的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（1）如圖所示，設(shè)直線l的方程為：x=my+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．與拋物線方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系，利用斜率計(jì)算公式可得k_NA=

y1

x1+1

，k_NB=

y2

x2+1

，只有證明k_NA+k_NB=0即可．
（2）利用S_△ANB=

1

2

|MN||y1-y2|=|y₁-y₂|=

(y1+y2)2-4y1y2

=

16m2+16

即可得出．

解答： （1）證明：如圖所示，
設(shè)直線l的方程為：x=my+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
聯(lián)立

x=my+1 y2=4x

，化為y²-4my-4=0，△＞0，
∴y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4．
k_NA=

y1

x1+1

，k_NB=

y2

x2+1

，
∴k_NA+k_NB=

y1

x1+1

+

y2

x2+1

=

y1(x2+1)+y2(x1+1)

(x1+1)(x2+1)

=

2my1y2+2(y1+y2)

(x1+1)(x2+1)

=

-8m+8m

(x1+1)(x2+1)

=0，
∴直線NA，NB的斜率互為相反數(shù)．
（2）解：S_△ANB=

1

2

|MN||y1-y2|=|y₁-y₂|=

(y1+y2)2-4y1y2

=

16m2+16

≥4，
當(dāng)且僅當(dāng)m=0時(shí)取等號(hào)．
∴當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，△ANB面積取得最小值4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與拋物線相交轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、斜率計(jì)算公式、三角形的面積計(jì)算公式、二次函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．