Question

已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜

π

2

）的部分圖象如圖：
（1）求函數(shù)f（x）的解析式及單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）將函數(shù)f（x）圖象向右平移

π

6

個單位長度得到函數(shù)m（x）的圖象，g（x）=2bcos²x（b＞0且b∈R），G（x）=m（x）+g（x），當(dāng)x∈[0，

π

4

]時，求函數(shù)G（x）的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換,由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）由函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)求出A，由周期求出ω，由五點(diǎn)法作圖求出φ的值，可得函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求得f（x）的增區(qū)間．
（2）由條件根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，可得m（x）=

3

sin2x，g（x）=bcos2x+b，G（x）=

3+b2

sin（2x+θ）+b，θ∈（0，

π

2

），tanθ=

b

3

．再由x∈[0，

π

4

]，再利用正弦函數(shù)的定義域和值域求得G（x）的值域．

解答： 解：（1）由函數(shù)的圖象可得A=

3

，

T

2

=

π

ω

=

7π

12

-

π

12

，∴ω=2．
再根據(jù)五點(diǎn)法作圖可得2×

π

12

+φ=

π

2

，求得φ=

π

3

，∴f（x）=

3

sin（2x+

π

3

）．
令2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

，故函數(shù)的增區(qū)間為[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]，k∈z．
（2）將函數(shù)f（x）圖象向右平移

π

6

個單位長度得到函數(shù)m（x）=

3

sin[2（x-

π

6

）+

π

3

]=

3

sin2x的圖象，
g（x）=2bcos²x=bcos2x+b，
G（x）=m（x）+g（x）=

3

sin2x+bcos2x+b=

3+b2

（

3

3+b2

sin2x+

b

3+b2

cos2x）+b=

3+b2

sin（2x+θ）+b，
θ∈（0，

π

2

），tanθ=

b

3

．
再由x∈[0，

π

4

]，可得2x+θ∈[θ，

π

2

+θ]，故當(dāng)2x+θ=

π

2

時，G（x）取得最大值為

3+b2

+b，
當(dāng)2x+θ=θ時，G（x）取得最大值為

3+b2

•

b

3+b2

+b=2b，
故函數(shù)G（x）的值域?yàn)閇2b，

3+b2

+b]．

點(diǎn)評：本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的單調(diào)性、定義域和值域，輔助角公式，屬于中檔題．