Question

6．在△ABC中，$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow$，$\overrightarrow{AC}$=k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$，其中k∈R，且$|{\overrightarrow a}$|=1，|$\overrightarrow$|=2，$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為120°對于以下結(jié)論：
①|(zhì)${\overrightarrow a$+$\overrightarrow b}$|=$\sqrt{3}$；
②若點D是邊BC的中點，則$\overrightarrow{AD}$=$\frac{k+1}{2}$（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）；
③若∠A為直角，則k=$\frac{{5±\sqrt{21}}}{2}$；
④若∠A為鈍角，則k＜$\frac{{5-\sqrt{21}}}{2}$且k≠-1或k＞$\frac{{5+\sqrt{21}}}{2}$；
⑤若∠A為銳角，則$\frac{{5-\sqrt{21}}}{2}$＜k＜$\frac{{5+\sqrt{21}}}{2}$．
其中所有正確命題的序號是①②③④⑤ （把你認(rèn)為正確命題的序號都填上）．

Answer 1

分析 由條件利用兩個向量的加減法及其幾何意義，兩個向量的數(shù)量積的定義和公式，一元二次不等式的解法，逐一判斷各個選項是否正確，從而得出結(jié)論．

解答 解：由題意可得，$|{\overrightarrow a}$|=1，|$\overrightarrow$|=2，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=1×2×cos120°=-1，
∴|${\overrightarrow a$+$\overrightarrow b}$|=$\sqrt{{（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）}^{2}}$=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{+\overrightarrow}^{2}}$=$\sqrt{1-2+4}$=$\sqrt{3}$，故①正確．
若點D是邊BC的中點，由$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow$，$\overrightarrow{AC}$=k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$，可得$\overrightarrow{AD}$=$\frac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}{2}$=$\frac{k+1}{2}$（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$），故②正確．
若∠A為直角，則$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=（$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow$）•（k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$ ）=k（${\overrightarrow{a}}^{2}$+${\overrightarrow}^{2}$）+（k²+1）$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=-k²+5k-1=0，求得k=$\frac{5±\sqrt{21}}{2}$，故③正確．
若∠A為鈍角，則$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=（$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow$）•（k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$ ）=k（${\overrightarrow{a}}^{2}$+${\overrightarrow}^{2}$）+（k²+1）$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=-k²+5k-1＜0，求得k＜$\frac{5-\sqrt{21}}{2}$ 或k＞$\frac{5+\sqrt{21}}{2}$，故④正確．
若∠A為銳角，則$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=（$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow$）•（k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$ ）=k（${\overrightarrow{a}}^{2}$+${\overrightarrow}^{2}$）+（k²+1）$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=-k²+5k-1＞0，求得$\frac{5-\sqrt{21}}{2}$k＜$\frac{5+\sqrt{21}}{2}$，故⑤正確．
故答案為：①②③④⑤．

點評 本題主要考查平面向量的數(shù)量積、夾角、運算法則，一元二次不等式的解法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．