Question

9．在數(shù)列{a_n}中，a₁=4，a_n+1=6a_n+2ⁿ⁺²（n∈N^*）．
（1）求證：數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$+1}是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （1）通過對a_n+1=6a_n+2ⁿ⁺²（n∈N^*）兩邊同時(shí)除以2ⁿ⁺¹、整理變形可知$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$+1=3（$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$+1），進(jìn)而可知數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$+1}是首項(xiàng)、公比均為3的等比數(shù)列；
（2）通過（1）可知a_n=6ⁿ-2ⁿ，利用分組法求和計(jì)算即得結(jié)論．

解答 （1）證明：∵a_n+1=6a_n+2ⁿ⁺²（n∈N^*），
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$=$\frac{6{a}_{n}+{2}^{n+2}}{{2}^{n+1}}$=3•$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$+2，
整理得：$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$+1=3（$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$+1），
又∵$\frac{{a}_{1}}{2}$+1=$\frac{4}{2}$+1=3，
∴數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$+1}是首項(xiàng)、公比均為3的等比數(shù)列；
（2）解：由（1）可知：$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$+1=3ⁿ，
∴a_n=6ⁿ-2ⁿ，
∴數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=$\frac{6（1-{6}^{n}）}{1-6}$-$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$=$\frac{1}{5}$•6ⁿ⁺¹-2ⁿ⁺¹+$\frac{4}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，對表達(dá)式的靈活變形是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．