Question

18．已知定點M（-1，2），動點N在單位圓x²+y²=1上運動．以0M，0N為鄰邊作平行四邊形OMPN，則點P到直線3x+4y+10=0距離的取值范圍是[2，4]．

Answer 1

分析 由已知條件利用圓的參數方程得到N（cosθ，sinθ），P（cosθ-1，sinθ+2），由此利用點到直線的距離公式和三角函數知識能求出點P到直線3x+4y+10=0距離的取值范圍．

解答 解：∵定點M（-1，2），動點N在單位圓x²+y²=1上運動，以0M，0N為鄰邊作平行四邊形OMPN，
∴N（cosθ，sinθ），P（cosθ-1，sinθ+2），
∴點P到直線3x+4y+10=0距離：
d=$\frac{|3cosθ-3+4sinθ+8+10|}{\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}}$=$\frac{|5sin（θ+α）+15|}{5}$，（tan$α=\frac{3}{4}$）
∴d_min=$\frac{|-5+15|}{5}$=2，d_max=$\frac{|5+15|}{5}$=4，
∴點P到直線3x+4y+10=0距離的取值范圍是[2，4]．
故答案為：[2，4]．

點評 本題考查點到直線的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意圓的參數方程和兩點間距離公式的合理運用．