Question

8．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=1，a_n+a_n+1=2n-1，則S_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{n（n-1）}{2}，n為偶數(shù)}\\{\frac{{n}^{2}-n+2}{2}，n為奇數(shù)}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 確定奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)均以2為公差的等差數(shù)列，可得a_2n-1=2n-1，a_2n=2n-2，再分類(lèi)討論，即可得出結(jié)論．

解答 解：∵數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足a₁=1，a_n+a_n+1=2n-1，
即有a_n-1+a_n=2n-3，n＞1．
兩式相減可得，a_n+1-a_n-1=2，
∴奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)均以2為公差的等差數(shù)列，
∴a_2n-1=2n-1，a_2n=2n-2，
n=2k時(shí)，S_n=$\frac{k（1+2k-1）}{2}$+$\frac{k}{2}$（0+2k-2）
=2k²-k=$\frac{n（n-1）}{2}$；
n=2k-1時(shí)，S_n=S_2k-a_2k=2k²-k-2k+2=2k²-3k+2=$\frac{{n}^{2}-n+2}{2}$，
∴S_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{n（n-1）}{2}，n為偶數(shù)}\\{\frac{{n}^{2}-n+2}{2}，n為奇數(shù)}\end{array}\right.$．
故答案為：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{n（n-1）}{2}，n為偶數(shù)}\\{\frac{{n}^{2}-n+2}{2}，n為奇數(shù)}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和，考查分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．