Question

10．設(shè)f_n（x）=（1+x）ⁿ，n∈N^*
（1）若g（x）=f₆（x）+2f₇（x）+3f₈（x），求g（x）中含x⁶項(xiàng)的系數(shù)；
（2）若h（x）=f_n（x）+f_n（$\frac{1}{x}$），求h₂₀₁₁（x）在區(qū)間[$\frac{1}{3}$，2]上的最大值與最小值；
（3）證明：C^m_m+2C^m_m+1+3C^m_m+2+…+nC^m_m+n-1=$\frac{（m+1）n+1}{m+2}$•C^m+1_m+n（m，n∈N^*）

Answer 1

分析 （1）由條件求得g（x）的解析式，可得g（x）中含x⁶項(xiàng)的系數(shù)．
（2）化簡h₂₀₁₁（x）可得它在（0，1）上遞減，（1，+∞）遞增，由此求得它在區(qū)間[$\frac{1}{3}$，2]上的最值．
（3）設(shè)m（x）=（1+x）^m+2•（1+x）^m+1+3•（1+x）^m+2+…+n•（1+x）^m+n-1…①，則（1+x）m（x）=（1+x）^m+1+2•（1+x）^m+2+…+n•（1+x）^m+n…②，兩式相減求得 x²•m（x）=（1+x）^m-（1+x）^m+n+nx•（1+x）^m+n，故m（x）中含x^m項(xiàng)的系數(shù)即 x²•m（x）中含x^m+2項(xiàng)的系數(shù)．再利用組合數(shù)的計(jì)算公式證得結(jié)論成立．

解答 解：（1）∵f_n（x）=（1+x）ⁿ，n∈N^*，故g（x）=f₆（x）+2f₇（x）+3f₈（x）
=（1+x）⁶ +2（1+x）⁷+3（1+x）⁸ ，
故g（x）中含x⁶項(xiàng)的系數(shù)為${C}_{6}^{6}$+2${C}_{7}^{6}$+3${C}_{8}^{6}$=99．
（2）h₂₀₁₁（x）=（1+x）²⁰¹¹ +${（1+\frac{1}{x}）}^{2011}$=（${C}_{2011}^{0}$+${C}_{2011}^{0}$）+（${C}_{2011}^{1}$•x+${C}_{2011}^{1}$•$\frac{1}{x}$）
+（${C}_{2011}^{2}$•x²+${C}_{2011}^{2}$•$\frac{1}{{x}^{2}}$）+…+（${C}_{2011}^{2011}$•x²⁰¹¹+${C}_{2011}^{2011}$•$\frac{1}{{x}^{2011}}$），
展開式中所有${{C}_{2011}^{k}{x}^{k}}^{\;}$+${C}_{2011}^{k}（\frac{1}{x}）^{k}$組合都是（0，1）上遞減，（1，+∞）遞增，
在區(qū)間[$\frac{1}{3}$，2]上，
故當(dāng)x=1時(shí)，h₂₀₁₁（x）取得最小值為h₂₀₁₁（1）=2•2²⁰¹¹=2⁴⁰²²，當(dāng)x=$\frac{1}{3}$時(shí)，h₂₀₁₁（x）取得最大值
為h₂₀₁₁（$\frac{1}{3}$）=${（\frac{4}{3}）}^{2011}$+4²⁰¹¹．
（3）證明：設(shè)m（x）=（1+x）^m+2•（1+x）^m+1+3•（1+x）^m+2+…+n•（1+x）^m+n-1…①，
則m（x）中含x^m 項(xiàng)的系數(shù)為${C}_{m}^{m}$+2${C}_{m+1}^{m}$+3•${C}_{m+2}^{m}$+…+n${C}_{m+n-1}^{m}$．
（1+x）m（x）=（1+x）^m+1+2•（1+x）^m+2+…+n•（1+x）^m+n…②，
①-②可得-xm（x）=（1+x）^m+（1+x）^m+1+（1+x）^m+2+…+（1+x）^m+n-1-n•（1+x）^m+n，
=$\frac{{（1+x）}^{m}•[1{-（1+x）}^{n}]}{1-（1+x）}$-n•（1+x）^m+n，
∴x²•m（x）=（1+x）^m-（1+x）^m+n+nx•（1+x）^m+n，
故m（x）中含x^m項(xiàng)的系數(shù)即 x²•m（x）中含x^m+2項(xiàng)的系數(shù)，
而x²•m（x）中含x^m+2項(xiàng)的系數(shù)為-${C}_{m+n}^{m+2}$+n•${C}_{m+n}^{m+1}$=-$\frac{（m+n）!}{（m+2）!（n-2）!}$+$\frac{n（m+n）!}{（m+1）!（n-1）!}$
=$\frac{-（n-1）+n（m+2）}{m+2}$•$\frac{（m+n）!}{（m+1）!（n-1）!}$=$\frac{（m+1）n+1}{m+2}$•${C}_{m+n}^{m+1}$，
∴C^m_m+2C^m_m+1+3C^m_m+2+…+nC^m_m+n-1=$\frac{（m+1）n+1}{m+2}$•C^m+1_m+n（m，n∈N^*）．

點(diǎn)評 本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開式的同項(xiàng)公式，組合數(shù)的計(jì)算公式的應(yīng)用，屬于難題．