Question

7．已知函數(shù)f（x）=ax³+（a+1）x²+27（a+2）x+b的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，求f（x）在區(qū)間[-4，5]上的最值．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)的奇偶性，求出a，b的值，從而求出函數(shù)f（x）的表達(dá)式，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的表達(dá)式，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最大值和最小值即可．

解答 解：∵函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，則f（x）是奇函數(shù)，
所以，f（0）=b=0，且a+1=0，
解得a=-1，b=0，
于是f（x）=-x³+27x，f′（x）=-3x²+27=-3（x+3）（x-3），
∴當(dāng)x∈（-3，3）時(shí)，f′（x）＞0；當(dāng)x∈（-4，-3）和（3，5）時(shí)，f′（x）＜0．
又∵函數(shù)f（x）在[-4，5]上連續(xù)．
∴f（x）在（-3，3）上是單調(diào)遞增函數(shù)，在（-4，-3）和（3，5）上是單調(diào)遞減函數(shù)，
而f（-4）=-44，f（-3）=-54，f（3）=54，f（4）=44，
∴f（x）的最大值是54，f（x）的最小值是-54．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的奇偶性問(wèn)題，考查函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．