Question

已知函數(shù)y=log_a（x-1）+3（a＞0，a≠1）所過(guò)定點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)分別是等差數(shù)列{a_n}的第二項(xiàng)與第三項(xiàng)，若b_n=

1

an-an+1

，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，則T₁₀=（　　）

• A、

  9

  11

• B、

  10

  11

• C、1
• D、

  12

  11

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由函數(shù)的解析式求得定點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，3），可得等差數(shù)列{a_n}的公差d=1，通項(xiàng)公式為a_n=n，求得數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式為b_n=

1

n

-

1

n+1

，由此求得數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和．

解答： 解：函數(shù)y=log_a（x-1）+3（a＞0，a≠1）所過(guò)定點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，3），
由題意可得 a₃=3，a₂=2，故等差數(shù)列{a_n}的公差d=1，通項(xiàng)公式為a_n=n．
故b_n=

1

an•an+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

．
故 T₁₀=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

10

-

1

11

=

10

11

．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，用裂項(xiàng)法求數(shù)列的前n項(xiàng)和，屬于中檔題．