Question

8．已知函數(shù)f（x）滿足條件：當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）+$\frac{1}{2}$xf′（x）＞1，則下列不等式正確的是（　�。�

• A． f（1）+3≥4f（2）
• B． f（1）+3＞4f（2）
• C． f（1）+3＜4f（2）
• D． f（2）+3＞4f（4）

Answer 1

分析 令g（x）=x²f（x）-x²，得到g（x）在（0，+∞）遞增，有g(shù)（1）＜g（2），從而得到答案．

解答 解：∵x＞0時(shí)，f（x）+$\frac{1}{2}$xf′（x）＞1，
∴x＞0時(shí)，2f（x）+xf′（x）-2＞0，
令g（x）=x²f（x）-x²，
則g′（x）=2xf（x）+x²f′（x）-2x=x[2f（x）+xf′（x）-2]＞0，
∴g（x）在（0，+∞）遞增，
∴g（1）＜g（2），
即f（1）-1＜4f（2）-4，
即f（1）+3＜4f（2），
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，構(gòu)造函數(shù)g（x）=x²f（x）-x²是解題的關(guān)鍵，本題是一道中檔題．