Question

17．已知函數(shù)f（x）=x|x+1|，x∈[-2，2]．
（1）畫出函數(shù)y=f（x）的圖象；
（2）求f（x）的值域；
（3）試根據(jù)圖象關(guān)系，解不等式f（x）≥-$\frac{1}{2}$（x+1）．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用分段函數(shù)的形式寫出f（x），并畫圖；
（2）討論x的范圍，當(dāng)-1≤x≤2時(shí)，當(dāng)-2≤x＜-1時(shí)，求得f（x）的解析式，由配方結(jié)合單調(diào)性，可得值域；
（3）作出直線y=-$\frac{1}{2}$（x+1），代入y=x|x+1|，解得x=-1或-$\frac{1}{2}$，由圖象即可得到所求范圍．

解答 解：（1）函數(shù)y=f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x（x+1），-1≤x≤2}\\{-x（x+1），-2≤x＜-1}\end{array}\right.$，
可得圖象如右：
（2）當(dāng)-1≤x≤2時(shí)，f（x）=x²+x=（x+$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{4}$，
x=-$\frac{1}{2}$時(shí)取得最小值-$\frac{1}{4}$；x=2時(shí)，取得最大值6，
則f（x）∈[-$\frac{1}{4}$，6]；
當(dāng)-2≤x＜-1時(shí)，f（x）=-（x+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{4}$，遞增，
可得f（x）∈[-2，0）；
即有函數(shù)的值域?yàn)閇-2，6]；
（3）作出直線y=-$\frac{1}{2}$（x+1），
代入y=f（x）=x|x+1|，可得x=-1或-$\frac{1}{2}$，
由圖象可得x=-1或-$\frac{1}{2}$≤x≤2時(shí)，f（x）的圖象在直線的上方．
則不等式的解集為{x|x=-1或-$\frac{1}{2}$≤x≤2}．

點(diǎn)評(píng) 本題考查含絕對(duì)值函數(shù)的圖象的畫法，函數(shù)的值域的求法，以及不等式的解法，注意運(yùn)用分段函數(shù)和二次函數(shù)的單調(diào)性，以及圖象關(guān)系，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．