Question

20．給出下列命題：
①曲線的切線一定和曲線只有一個交點；
②“可導函數(shù)y=f（x）在一點的導數(shù)值為0”是“函數(shù)y=f（x）在這點取得極值”的必要不充分條件；
③若f（x）在（a，b）內存在導數(shù)，則“f′（x）＜0”是f（x）在（a，b）內單調遞減的充要條件；
④求曲邊梯形的面積用到了“以直代曲”的思想，在“近似代替”中，函數(shù)f（x）在區(qū)間[x_i，x_i+1]上的近似值可以是該區(qū)間內任一點的函數(shù)值f（ξ_i）（ξ_i∈[x_i，x_i+1]）
其中正確的個數(shù)是（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 ①根據(jù)切線定義列舉一個反例進行判斷，
②根據(jù)函數(shù)極值的定義和充分條件和必要條件的定義進行判斷，
③根據(jù)函數(shù)單調性和導數(shù)的關系進行判斷，
④根據(jù)“以直代曲”的思想進行判斷．

解答 解：①曲線的切線一定和曲線只有一個交點，錯誤，y=cosx在（0，1）處的切線和y=cosx有無數(shù)個交點，故②錯誤．
②若可導函數(shù)y=f（x）在一點的導數(shù)值為0，則函數(shù)y=f（x）在這點不一定取得極值，比如函數(shù)f（x）=x³，在x=0處就取不到極值，即充分性不成立，
若函數(shù)y=f（x）在這點取得極值，則可導函數(shù)y=f（x）在一點的導數(shù)值為0，即必要性成立，
則“可導函數(shù)y=f（x）在一點的導數(shù)值為0”是“函數(shù)y=f（x）在這點取得極值”的必要不充分條件；成立，故②正確，
③若f（x）在（a，b）內存在導數(shù)，則“f′（x）＜0”是f（x）在（a，b）內單調遞減的充要條件；錯誤，
函數(shù)f（x）=-x³，在（-1，1）內單調遞減，但f′（x）=-3x²≤0，故③錯誤，
④求曲邊梯形的面積，在“近似代替”中，函數(shù)f（x）在區(qū)間[x_i，x_i+1]上的近似值可以是該區(qū)間內任一點的函數(shù)值f（ξ_i）（ξ_i∈[x_i，x_i+1]），正確，故④正確，
故正確的是②④，
故選：B

點評 本題主要考查命題的真假判斷，涉及的知識點較多，綜合性較強，但難度不大．