Question

20．給出下列命題：
①曲線的切線一定和曲線只有一個(gè)交點(diǎn)；
②“可導(dǎo)函數(shù)y=f（x）在一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值為0”是“函數(shù)y=f（x）在這點(diǎn)取得極值”的必要不充分條件；
③若f（x）在（a，b）內(nèi)存在導(dǎo)數(shù)，則“f′（x）＜0”是f（x）在（a，b）內(nèi)單調(diào)遞減的充要條件；
④求曲邊梯形的面積用到了“以直代曲”的思想，在“近似代替”中，函數(shù)f（x）在區(qū)間[x_i，x_i+1]上的近似值可以是該區(qū)間內(nèi)任一點(diǎn)的函數(shù)值f（ξ_i）（ξ_i∈[x_i，x_i+1]）
其中正確的個(gè)數(shù)是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 ①根據(jù)切線定義列舉一個(gè)反例進(jìn)行判斷，
②根據(jù)函數(shù)極值的定義和充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷，
③根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系進(jìn)行判斷，
④根據(jù)“以直代曲”的思想進(jìn)行判斷．

解答 解：①曲線的切線一定和曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，錯(cuò)誤，y=cosx在（0，1）處的切線和y=cosx有無(wú)數(shù)個(gè)交點(diǎn)，故②錯(cuò)誤．
②若可導(dǎo)函數(shù)y=f（x）在一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值為0，則函數(shù)y=f（x）在這點(diǎn)不一定取得極值，比如函數(shù)f（x）=x³，在x=0處就取不到極值，即充分性不成立，
若函數(shù)y=f（x）在這點(diǎn)取得極值，則可導(dǎo)函數(shù)y=f（x）在一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值為0，即必要性成立，
則“可導(dǎo)函數(shù)y=f（x）在一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值為0”是“函數(shù)y=f（x）在這點(diǎn)取得極值”的必要不充分條件；成立，故②正確，
③若f（x）在（a，b）內(nèi)存在導(dǎo)數(shù)，則“f′（x）＜0”是f（x）在（a，b）內(nèi)單調(diào)遞減的充要條件；錯(cuò)誤，
函數(shù)f（x）=-x³，在（-1，1）內(nèi)單調(diào)遞減，但f′（x）=-3x²≤0，故③錯(cuò)誤，
④求曲邊梯形的面積，在“近似代替”中，函數(shù)f（x）在區(qū)間[x_i，x_i+1]上的近似值可以是該區(qū)間內(nèi)任一點(diǎn)的函數(shù)值f（ξ_i）（ξ_i∈[x_i，x_i+1]），正確，故④正確，
故正確的是②④，
故選：B

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查命題的真假判斷，涉及的知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，但難度不大．