Question

2．點(diǎn)P在圓（x-3）²+（y-4）²=1上運(yùn)動(dòng)，兩定點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（-6，0）、（6，0）．
（1）求$\overrightarrow{OP}$$•\overrightarrow{AP}$的取值范圍；
（2）求|PA|²+|PB|²的最大值與最小值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x₀，y₀），則$\overrightarrow{OP}$$•\overrightarrow{AP}$=（x₀，y₀）•（x₀+6，y₀）=x₀（x₀+6）+y₀²=（x₀+3）²+y₀²-9，（x₀+3）²+y₀²，表示（x₀，y₀）與（-3，0）的距離的平方，即可得出結(jié)論；
（2）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x₀，y₀），計(jì)算PA²+PB²的值，利用Z=x₀²+y₀²的意義即圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方，數(shù)形結(jié)合，求PA²+PB²的最大值和最小值，并求相應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答 解：（1）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x₀，y₀），則
$\overrightarrow{OP}$$•\overrightarrow{AP}$=（x₀，y₀）•（x₀+6，y₀）=x₀（x₀+6）+y₀²=（x₀+3）²+y₀²-9，
（x₀+3）²+y₀²表示（x₀，y₀）與（-3，0）的距離的平方，其范圍為（（$\sqrt{52}$-1）²，（$\sqrt{52}$+1）²），即（53-4$\sqrt{13}$，53+4$\sqrt{13}$），
∴$\overrightarrow{OP}$$•\overrightarrow{AP}$的取值范圍是（44-4$\sqrt{13}$，44+4$\sqrt{13}$）；
（2）PA²+PB²=（x₀+6）² +y₀² +（x₀-6）² +y₀²=2（x₀²+y₀²）+72，
令Z=x₀²+y₀²，顯然Z表示圓C上一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方，
當(dāng)Z最大（�。�時(shí)，PA²+PB²最大（�。�，設(shè)直線OC交圓C于兩點(diǎn)P₁，P₂，
當(dāng)P與P₁重合時(shí)，Z最小，其值為（|OC|-1）²=16，
當(dāng)P與P₂重合時(shí)，Z最大，其值為（|OC|+1）²=36，
∴PA²+PB²的最大值為144，最小值為104．

點(diǎn)評 本題考查直線、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，注意式子Z=x₀²+y₀²表示的意義，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．