Question

4．已知函數(shù)f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x-lnx，若實數(shù)x₀滿足f（x₀）＞${log_{\frac{1}{8}}}$sin$\frac{π}{8}$+${log_{\frac{1}{8}}}$cos$\frac{π}{8}$，則x₀的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，1）
• B． （0，1）
• C． （1，+∞）
• D． （$\frac{1}{2}$，+∞）

Answer 1

分析 首先利用函數(shù)的定義域排除A，進一步求出${log}_{\frac{1}{8}}sin\frac{π}{8}+{log}_{\frac{1}{8}}cos\frac{π}{8}$的值，最后利用特殊值法排除C和D，最后求出結(jié)果．

解答 解：已知函數(shù)f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x-lnx，
所以：函數(shù)自變量x的定義域為：x∈（0，+∞）
故排除A．
由于存在實數(shù)x₀滿足f（x₀）＞${log_{\frac{1}{8}}}$sin$\frac{π}{8}$+${log_{\frac{1}{8}}}$cos$\frac{π}{8}$，
又由于：${log}_{\frac{1}{8}}sin\frac{π}{8}+{log}_{\frac{1}{8}}cos\frac{π}{8}$=${log}_{\frac{1}{8}}\frac{1}{2}sin\frac{π}{4}={log}_{\frac{1}{8}}\frac{\sqrt{2}}{4}$=$\frac{1}{2}$，
即：${f（x}_{0}）＞\frac{1}{2}$
$（\frac{1}{2}）^{{x}_{0}}-{lnx}_{0}＞\frac{1}{2}$
當x=e時，$0＜（\frac{1}{2}）^{e}＜1$，lne=1
所以：${（\frac{1}{2}）}^{{x}_{0}}-{lnx}_{0}＜0$與$f{（x}_{0}）＞\frac{1}{2}$矛盾，
故排除：C和D
故選：B．

點評 本題考查的知識要點：利用排除法和特殊值法解決一些復(fù)雜的函數(shù)問題，對數(shù)的值得求法和特殊的三角函數(shù)值．