Question

13．已知點(diǎn)P（2，2）在拋物線(xiàn)C；y²=2px（p＞0）上，且拋物線(xiàn)C上的點(diǎn)到直線(xiàn)l：y=x+b（b＞0）的距離的最小值為$\frac{3\sqrt{2}}{4}$．
（1）求直線(xiàn)l及拋物線(xiàn)C的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)Q（2，1）的任一直線(xiàn)（不經(jīng)過(guò)點(diǎn)P）與拋物線(xiàn)C交于A、B兩點(diǎn)，直線(xiàn)AB與直線(xiàn)l相交于點(diǎn)M，記直線(xiàn)
PA、PB、PM的斜率分別為k₁，k₂，k₃，問(wèn)：是否存在實(shí)數(shù)λ，使得k₁+k₂=λk₃？若存在，試求出λ的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）把點(diǎn)P（2，2）在拋物線(xiàn)C，即可解得p=1．設(shè)與直線(xiàn)l平行且與拋物線(xiàn)相切的直線(xiàn)l′的方程為：y=x+m，與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立化為x²+（2m-2）x+m²=0，令△=0，解得m，利用平行線(xiàn)之間的距離公式即可得出b；
（2）設(shè)直線(xiàn)AB的方程為：y-1=k（x-2），即y=kx-2k+1，與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立可得ky²-2y-4k+2=0，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），得到根與系數(shù)的關(guān)系，利用向量計(jì)算公式可得k₁+k₂．聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-2k+1}\\{y=x+2}\end{array}\right.$，解得x_M，y_M，利用向量計(jì)算公式可得k₃，即可判斷出．

解答 解：（1）∵點(diǎn)P（2，2）在拋物線(xiàn)C，
∴2²=2p×2，解得p=1．
設(shè)與直線(xiàn)l平行且與拋物線(xiàn)相切的直線(xiàn)l′的方程為：y=x+m，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+m}\\{{y}^{2}=2x}\end{array}\right.$，化為x²+（2m-2）x+m²=0，
令△=（2m-2）²-4m²=0，解得m=$\frac{1}{2}$，
則直線(xiàn)l′的方程為y=x+$\frac{1}{2}$．
則$\frac{|b-\frac{1}{2}|}{\sqrt{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，解得b=2或b=-1（舍去），
∴直線(xiàn)l的方程為y=x+2，拋物線(xiàn)C的方程為y²=2x；
（2）∵直線(xiàn)AB的斜率存在，∴設(shè)直線(xiàn)AB的方程為：y-1=k（x-2），即y=kx-2k+1，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-2k+1}\\{{y}^{2}=2x}\end{array}\right.$，可得ky²-2y-4k+2=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y₁+y₂=$\frac{2}{k}$，${y}_{1}{y}_{2}=\frac{2-4k}{k}$，
∴${k}_{1}=\frac{{y}_{1}-2}{{x}_{1}-2}$=$\frac{{y}_{1}-2}{\frac{{y}_{1}^{2}}{2}-2}$=$\frac{2}{{y}_{1}+2}$，${k}_{2}=\frac{2}{{y}_{2}+1}$，
∴k₁+k₂=$\frac{2}{{y}_{1}+2}+\frac{2}{{y}_{2}+2}$=$\frac{2（{y}_{1}+{y}_{2}）+8}{{y}_{1}{y}_{2}+2（{y}_{1}+{y}_{2}）+4}$=$\frac{2×\frac{2}{k}+8}{\frac{2-4k}{k}+2×\frac{2}{k}+4}$=$\frac{4k+2}{3}$．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-2k+1}\\{y=x+2}\end{array}\right.$，解得x_M=$\frac{2k+1}{k-1}$，y_M=$\frac{4k-1}{k-1}$，
∴k₃=$\frac{\frac{4k-1}{k-1}-2}{\frac{2k+1}{k-1}-2}$=$\frac{2k+1}{3}$，
∴k₁+k₂=2k₃．因此，存在實(shí)數(shù)λ=2，使得k₁+k₂=λk₃．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線(xiàn)的定義及其性質(zhì)、直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相切轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得判別式為0及其根與系數(shù)的關(guān)系、斜率計(jì)算公式、平行線(xiàn)之間的距離公式，考查了分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．