Question

14．?dāng)?shù)列{a_n}滿足a_n+1=$\frac{a_n}{2{a}_{n}+1}$，a₁=1．
（1）證明：數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是等差數(shù)列；
（2）求數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前n項(xiàng)和S_n，并證明$\frac{1}{{S}_{1}}$+$\frac{1}{{S}_{2}}$+…+$\frac{1}{{S}_{n}}$$＞\frac{n}{n+1}$．

Answer 1

分析 （1）將等式兩邊同時(shí)取倒數(shù)，構(gòu)造等差數(shù)列，即可證明數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是等差數(shù)列；
（2）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前n項(xiàng)和S_n，利用放縮法即可證明不等式．

解答 （1）證明：∵a_n+1=$\frac{a_n}{2{a}_{n}+1}$，a₁=1，
∴兩邊同時(shí)取倒數(shù)得$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{2{a}_{n}+1}{{a}_{n}}$=2+$\frac{1}{{a}_{n}}$，
則$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=2，
故數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是等差數(shù)列，公差d=2．
（2）∵數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是等差數(shù)列，公差d=2，首項(xiàng)為$\frac{1}{{a}_{1}}=1$，
則數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前n項(xiàng)和S_n=n+$\frac{n（n-1）}{2}×2$=n+n（n-1）=n²，
則$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{{n}^{2}}$，
∵$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{{n}^{2}}$＞$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
∴$\frac{1}{{S}_{1}}$+$\frac{1}{{S}_{2}}$+…+$\frac{1}{{S}_{n}}$＞$\frac{1}{1}-\frac{1}{2}$$+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+$$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$，
故$\frac{1}{{S}_{1}}$+$\frac{1}{{S}_{2}}$+…+$\frac{1}{{S}_{n}}$$＞\frac{n}{n+1}$成立．

點(diǎn)評 本題主要考查數(shù)列遞推公式的應(yīng)用，以及等差數(shù)列的證明，利用取倒數(shù)法是解決本題的關(guān)鍵．利用放縮法是證明不等式的常用方法．