Question

1．過(guò)橢圓$\frac{x^2}{6}$+$\frac{y^2}{5}$=1內(nèi)的一點(diǎn)P（2，-1）的弦，恰好被點(diǎn)P平分，則這條弦所在的直線方程是5x-3y-13=0（寫(xiě)成直線的一般式方程）．

Answer 1

分析 設(shè)過(guò)點(diǎn)P的弦與橢圓交于A₁，A₂兩點(diǎn)，并設(shè)出他們的坐標(biāo)，代入橢圓方程聯(lián)立，兩式相減，根據(jù)中點(diǎn)P的坐標(biāo)可知x₁+x₂和y₁+y₂的值，進(jìn)而求得直線A₁A₂的斜率，根據(jù)點(diǎn)斜式即可求得直線的方程．

解答 解：設(shè)過(guò)點(diǎn)P的弦與橢圓交于A₁（x₁，y₁），A₂（x₂，y₂）兩點(diǎn)，
則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{{x}_{1}}^{2}}{6}+\frac{{{y}_{1}}^{2}}{5}=1}\\{\frac{{{x}_{2}}^{2}}{6}+\frac{{{y}_{2}}^{2}}{5}=1}\end{array}\right.$，且x₁+x₂=4，y₁+y₂=-2，
由$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）（{x}_{1}+{x}_{2}）}{6}$+$\frac{（{y}_{1}-{y}_{2}）（{y}_{1}+{y}_{2}）}{5}$=0，
∴$\frac{2}{3}$（x₁-x₂）-$\frac{2}{5}$（y₁-y₂）=0，
∴A₁A₂的斜率k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{5}{3}$．
∴弦所在直線方程為y+1=$\frac{5}{3}$（x-2），
即5x-3y-13=0．
故答案為：5x-3y-13=0．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)和直線與橢圓的位置關(guān)系．涉及弦長(zhǎng)的中點(diǎn)問(wèn)題，常用“點(diǎn)差法”設(shè)而不求，將弦所在直線的斜率、弦的中點(diǎn)坐標(biāo)聯(lián)系起來(lái)，相互轉(zhuǎn)化．