Question

10．?dāng)?shù)列{a_n}滿足 a₁=3，a_n+1=$\frac{2}{{a}_{n}+1}$．
（1）求證：{$\frac{{a}_{n}-1}{{a}_{n}+2}$}成等比數(shù)列；
（2）若a_n-t²-mt≥0對(duì)一切n∈N^*及m∈[-1，1]恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)a_n+1=$\frac{2}{{a}_{n}+1}$，計(jì)算出a_n+1-1=$\frac{1-{a}_{n}}{1+{a}_{n}}$、a_n+1+2=$\frac{4+2{a}_{n}}{1+{a}_{n}}$，作商即得結(jié)論；
（2）通過(guò)（1）知Q_n=$\frac{{a}_{n}-1}{{a}_{n}+2}$=$\frac{2}{5}$•（-$\frac{1}{2}$）^n-1，從而通過(guò)Q_n∈[-$\frac{1}{5}$，$\frac{2}{5}$]可得a_n∈[$\frac{1}{2}$，3]，則原條件即轉(zhuǎn)化為為：-t²-mt+$\frac{1}{2}$≥0對(duì)一切n∈N^*及m∈[-1，1]恒成立，進(jìn)而有t∈[-$\frac{m+\sqrt{2+{m}^{2}}}{2}$，$\frac{\sqrt{2+{m}^{2}}-m}{2}$]，當(dāng)m∈[-1，1]時(shí)，討論$\frac{\sqrt{2+{m}^{2}}-m}{2}$的最小值、-$\frac{m+\sqrt{2+{m}^{2}}}{2}$的最大值即可．

解答 （1）證明：∵a_n+1=$\frac{2}{{a}_{n}+1}$，
∴a_n+1-1=$\frac{2}{{a}_{n}+1}$-1=$\frac{1-{a}_{n}}{1+{a}_{n}}$，
a_n+1+2=$\frac{2}{{a}_{n}+1}$+2=$\frac{4+2{a}_{n}}{1+{a}_{n}}$，
∴$\frac{{a}_{n+1}-1}{{a}_{n+1}+2}$=$\frac{\frac{1-{a}_{n}}{1+{a}_{n}}}{\frac{4+2{a}_{n}}{1+{a}_{n}}}$=-$\frac{1}{2}$•$\frac{{a}_{n}-1}{{a}_{n}+2}$，
∴數(shù)列{$\frac{{a}_{n}-1}{{a}_{n}+2}$}成公比為-$\frac{1}{2}$的等比數(shù)列；
（2）解：由（1）知數(shù)列{$\frac{{a}_{n}-1}{{a}_{n}+2}$}的公比為-$\frac{1}{2}$，
∵a₁=3，
∴$\frac{{a}_{1}-1}{{a}_{1}+2}$=$\frac{3-1}{3+2}$=$\frac{2}{5}$，
∴$\frac{{a}_{n}-1}{{a}_{n}+2}$=1-$\frac{3}{{a}_{n}+2}$=$\frac{2}{5}$•（-$\frac{1}{2}$）^n-1，
記Q_n=$\frac{{a}_{n}-1}{{a}_{n}+2}$=$\frac{2}{5}$•（-$\frac{1}{2}$）^n-1，則Q_n∈[-$\frac{1}{5}$，$\frac{2}{5}$]，
∴1-Q_n∈[$\frac{3}{5}$，$\frac{6}{5}$]，
∴$\frac{1}{1-{Q}_{n}}$∈[$\frac{5}{6}$，$\frac{5}{3}$]，
∴a_n=$\frac{3}{1-{Q}_{n}}$-2∈[$\frac{1}{2}$，3]，
∴a_n-t²-mt≥0對(duì)一切n∈N^*及m∈[-1，1]恒成立，
等價(jià)于：-t²-mt+$\frac{1}{2}$≥0對(duì)一切n∈N^*及m∈[-1，1]恒成立，
令t²+mt-$\frac{1}{2}$=0，
解得：t=$\frac{-m±\sqrt{{m}^{2}+2}}{2}$，
則-t²-mt+$\frac{1}{2}$≥0的解集為：t∈[-$\frac{m+\sqrt{2+{m}^{2}}}{2}$，$\frac{\sqrt{2+{m}^{2}}-m}{2}$]，
當(dāng)m∈[-1，1]時(shí)，$\frac{\sqrt{2+{m}^{2}}-m}{2}$的最小值為$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，
-$\frac{m+\sqrt{2+{m}^{2}}}{2}$的最大值為$\frac{1-\sqrt{3}}{2}$，
∴實(shí)數(shù)t的取值范圍為：[$\frac{1-\sqrt{3}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題是一道關(guān)于數(shù)列與函數(shù)的綜合題，考查判定數(shù)列為等比數(shù)列，考查解一元二次不等式，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于難題．