Question

2．證明：$\sqrt{3}+2\sqrt{2}＜2+\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 證法1：利用分析法通過平方轉(zhuǎn)化證明即可．
證法2：利用分析法，通過移項，分子有理化，分析證明即可．

解答 證法1：因為$\sqrt{3}+2\sqrt{2}＞0，2+\sqrt{7}＞0$，
所以欲證$\sqrt{3}+2\sqrt{2}＜2+\sqrt{7}$，
只需證明${（\sqrt{3}+2\sqrt{2}）^2}＜{（2+\sqrt{7}）^2}$，即證明$11+4\sqrt{6}＜11+4\sqrt{7}$，
只需證明$4\sqrt{6}＜4\sqrt{7}$，即證明6＜7，
上式顯然成立，所以$\sqrt{3}+2\sqrt{2}＜2+\sqrt{7}$．
證法2：欲證$\sqrt{3}+2\sqrt{2}＜2+\sqrt{7}$，
只需證明$2\sqrt{2}-\sqrt{7}＜2-\sqrt{3}$，
只需證明$\frac{1}{{2\sqrt{2}+\sqrt{7}}}＜\frac{1}{{2+\sqrt{3}}}$．
∵$2\sqrt{2}＞2，\sqrt{7}＞\sqrt{3}$，∴$2\sqrt{2}+\sqrt{7}＞2+\sqrt{3}＞0$．
∴$\frac{1}{{2\sqrt{2}+\sqrt{7}}}＜\frac{1}{{2+\sqrt{3}}}$成立，
所以$\sqrt{3}+2\sqrt{2}＜2+\sqrt{7}$．

點評 本題考查不等式的證明，分析法的應(yīng)用，考查計算能力．