Question

8．已知函數(shù)f（x）=log_m（x²+4x+4a+1）（m＞0，且m≠1）對于任意x∈[0，+∞）都有意義．
（1）求實數(shù)a的取值范圍；
（2）在函數(shù)上是否存在不同的兩點，使過這兩點的直線平行于x軸？

Answer 1

分析 （1）由題意可得：當x∈[0，+∞）時，x²+4x+4a+1＞0，化為a＞$-\frac{1}{4}$（x²+4x+1）=g（x），等價于當x∈[0，+∞）時，a＞g（x）_max．利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．
（2）利用函數(shù)的單調(diào)性即可判斷出．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=log_m（x²+4x+4a+1）（m＞0，且m≠1）對于任意x∈[0，+∞）都有意義．
∴當x∈[0，+∞）時，x²+4x+4a+1＞0，化為a＞$-\frac{1}{4}$（x²+4x+1）=g（x），
∴當x∈[0，+∞）時，a＞g（x）_max．
g（x）=$-\frac{1}{4}（x+2）^{2}$+$\frac{3}{4}$≤g（0）=$-\frac{1}{4}$×2²+$\frac{3}{4}$=-$\frac{1}{4}$，
∴$a＞-\frac{1}{4}$．
（2）由于x≥0時，函數(shù)h（x）=x²+4x+4a+1=（x+2）²+4a-3單調(diào)遞增，f（x）=log_mh（x）也具有單調(diào)性，
因此在函數(shù)上不存在不同的兩點，使過這兩點的直線平行于x軸．

點評 本題考查了對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、二次函數(shù)的單調(diào)性、復合函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．