Question

16．設(shè)函數(shù)y=log₂（ax²-2x+2）定義域為A、值域為B．
（1）若A=R，求實數(shù)a的取值范圍：
（2）若B=R，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）若log₂（ax²-2x+2）＞2在x∈[1，2]上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意得ax²-2x+2＞0對于任意的實數(shù)都成立，驗證a=0是否成立，a≠0時根據(jù)二次函數(shù)的圖象找出等價條件，求出a的范圍
（2）函數(shù)y=ax²-2x+2的圖象不在x軸上方，分類討論即可
（3）轉(zhuǎn)化為x²-2x+2＞4在x∈[1，2]上恒成立，分類討論利用函數(shù)最小值判斷求解即可．

解答 解（1）函數(shù)y=log₂（ax²-2x+2）的定義域為R，
∴ax²-2x+2＞0對于任意的實數(shù)都成立；
當(dāng)a=0時，2x+2＞0，故不符合題意；
當(dāng)a≠0時，則有$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△=4-8a＜0}\end{array}\right.$，解得a＞$\frac{1}{2}$
故實數(shù)a的取值范圍：a$＞\frac{1}{2}$
（2）∵B=R，
∴函數(shù)y=ax²-2x+2的圖象不在x軸上方，
當(dāng)a=0時，y=2x+2，故符合題意；
當(dāng)a≠0時，則有$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△=4-8a≥0}\end{array}\right.$，解得0＜a≤$\frac{1}{2}$
故實數(shù)a的取值范圍：0≤a$≤\frac{1}{2}$
（3）∵log₂（ax²-2x+2）＞2在x∈[1，2]上恒成立
∴ax²-2x+2＞4在x∈[1，2]上恒成立
ax²-2x-2＞0在x∈[1，2]上恒成立
當(dāng)a=0時，y=ax²-2x+2=-2x+2不可能ax²-2x-2＞0在x∈[1，2]上恒成立
當(dāng)a＜0時，y=ax²-2x+2，對稱軸x=$\frac{1}{a}$＜0，x∈[1，2]上單調(diào)遞減
y_小=4a-6＞0，即可得出a$＞\frac{3}{2}$
不可能成立
當(dāng)a＞0時，ax²-2x-2＞0，轉(zhuǎn)化為ax$-\frac{2}{x}$-2＞0
令y=ax$-\frac{2}{x}$-2，根據(jù)單調(diào)性得出：a-2-2＞0，a＞4
綜上可得出實數(shù)a的取值范圍：a＞4．

點評 本題綜合考查了函數(shù)不等式的性質(zhì)，運用構(gòu)造數(shù)學(xué)思想轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值求解不等式恒成立問題，屬于中檔題．