Question

17．已知函數(shù)f（x）=sin4xcosφ+sinφ-2sinφsin²2x（0＜φ＜π）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱．
（I）求函數(shù)f（x）的最小正周期與φ的值；
（Ⅱ）若函數(shù)y=g（x）的圖象是由函數(shù)y=f（x）的圖象上所有的點(diǎn)向左平行移動(dòng)$\frac{π}{6}$個(gè)單位內(nèi)而得到，且g（x）在區(qū)間（0，m）內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)m的最大值．

Answer 1

分析 （I）化簡可得f（x）=sin（4x+φ），易得周期，再由函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱可得φ=kπ+$\frac{π}{2}$，結(jié)合0＜φ＜π可得φ=$\frac{π}{2}$，可得f（x）=cos4x；
（Ⅱ）由題意和圖象變換可得g（x）=cos（4x+$\frac{2π}{3}$），由g（x）在區(qū)間（0，m）內(nèi)是單調(diào)函數(shù)可得4m+$\frac{2π}{3}$≤π，解不等式可得．

解答 解：（I）化簡可得f（x）=sin4xcosφ+sinφ-2sinφsin²2x
=sin4xcosφ+sinφ（1-2sin²2x）
=sin4xcosφ+cos4xsinφ
=sin（4x+φ），
∴函數(shù)f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{4}$=$\frac{π}{2}$，
∵函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，
∴φ=kπ+$\frac{π}{2}$，結(jié)合0＜φ＜π可得φ=$\frac{π}{2}$，
∴f（x）=cos4x；
（Ⅱ）函數(shù)y=f（x）的圖象上所有的點(diǎn)向左平行移動(dòng)$\frac{π}{6}$個(gè)單位得到：
g（x）=cos4（x+$\frac{π}{6}$）=cos（4x+$\frac{2π}{3}$），
∵g（x）在區(qū)間（0，m）內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，
∴4m+$\frac{2π}{3}$≤π，解得0＜m≤$\frac{π}{12}$，
∴實(shí)數(shù)m的最大值為$\frac{π}{12}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)恒等變換，涉及三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)以及圖象變換，屬中檔題．