Question

20．等比數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為2，公比為3，前n項(xiàng)和為S_n，若log₃[$\frac{1}{2}$a_n（S_4m+1）]=9，則$\frac{1}{n}$+$\frac{4}{m}$的最小值是2.5．

Answer 1

分析 根據(jù)等比數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為2，公比為3，前n項(xiàng)和為S_n，可得a_n=2•3^n-1；S_n=3ⁿ-1，由log₃[$\frac{1}{2}$a_n•（S_4m+1）]=9，可得n+4m=10，進(jìn)而利用“1”的代換，結(jié)合基本不等式，即可得出結(jié)論．

解答 解：∵等比數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為2，公比為3，前n項(xiàng)和為S_n，
∴a_n=2•3^n-1；S_n=3ⁿ-1，
∵log₃[$\frac{1}{2}$a_n•（S_4m+1）]=9，
∴（n-1）+4m=9，
∴n+4m=10，
∴$\frac{1}{n}$+$\frac{4}{m}$=$\frac{1}{10}$（n+4m）（ $\frac{1}{n}$+$\frac{4}{m}$）=$\frac{1}{10}$（17+$\frac{4n}{m}+\frac{4m}{n}$）≥$\frac{1}{10}$（17+8）=2.5，
當(dāng)且僅當(dāng)m=n=2時(shí)取等號(hào)，
∴$\frac{1}{n}$+$\frac{4}{m}$的最小值是2.5．
故答案為：2.5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)與性質(zhì)，考查對(duì)數(shù)運(yùn)算，考查基本不等式，確定n+4m=3，進(jìn)而利用“1”的代換，結(jié)合基本不等式是關(guān)鍵，屬于中檔題．