Question

9．已知△ABC是銳角三角形，P=sinA+sinB，Q=cosA+cosB，則P與Q的大小關(guān)系為P＞Q．

Answer 1

分析 作差由和差化積公式可得P-Q=2cos$\frac{A-B}{2}$（sin$\frac{A+B}{2}$-cos$\frac{A+B}{2}$），由銳角三角形角的范圍可判每個(gè)式子的正負(fù)，由此可得結(jié)論．

解答 解：由題意可得P-Q=（sinA+sinB）-（cosA+cosB）
=2sin$\frac{A+B}{2}$cos$\frac{A-B}{2}$-2cos$\frac{A+B}{2}$cos$\frac{A-B}{2}$
=2cos$\frac{A-B}{2}$（sin$\frac{A+B}{2}$-cos$\frac{A+B}{2}$）
∵△ABC是銳角三角形，∴A+B=π-C＞$\frac{π}{2}$，
∴$\frac{A+B}{2}$＞$\frac{π}{4}$，∴sin$\frac{A+B}{2}$＞cos$\frac{A-B}{2}$，
由A和B為銳角可得-$\frac{π}{4}$＜$\frac{A-B}{2}$＜$\frac{π}{4}$，∴cos$\frac{A-B}{2}$＞0，
∴P-Q＞0，即P＞Q，
故答案為：P＞Q．

點(diǎn)評(píng) 本題考查兩角和與差的三角函數(shù)公式，涉及和差化積公式及三角函數(shù)的值域，屬中檔題．