Question

19．雙曲線x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的左右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，過(guò)F₂作傾斜角為150°的直線交雙曲線于A、B兩點(diǎn)，則△F₁AB的周長(zhǎng)是3+3$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 求得雙曲線的a，b，c，求得直線AB的方程，代入雙曲線的方程，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，求得AB=1，設(shè)A在左支，B在右支上，且|AF₁|=m，|BF₁|=n，在△BF₁F₂中，由余弦定理求得n，可得m，即可得到所求周長(zhǎng)．

解答 解：雙曲線x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的a=1，b=$\sqrt{3}$，c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=2，
由題意可得直線AB的方程為y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x-2），
代入雙曲線的方程可得，8x²+4x-13=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
可得x₁+x₂=-$\frac{1}{2}$，x₁x₂=-$\frac{13}{8}$，
即有|AB|=$\sqrt{1+\frac{1}{3}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{\frac{4}{3}}$•$\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{13}{2}}$=3，
設(shè)A在左支，B在右支上，且|AF₁|=m，|BF₁|=n，
由雙曲線的定義可得|AF₂|-|AF₁|=2a=2，
|BF₁|-|BF₂|=2a=2，
即有|AF₂|=m+2，|BF₂|=n-2，
由|AF₂|-||BF₂|=|AB|=3，可得n=m+1，
在△BF₁F₂中，由余弦定理可得
|BF₁|²=|BF₂|²+|F₁F₂|²-2|BF₂|•|F₁F₂|•cos∠BF₂F₁，
即有n²=（n-2）²+16-2（n-2）•4•cos30°，
解得n=$\frac{1+3\sqrt{3}}{2}$，m=$\frac{3\sqrt{3}-1}{2}$，
則△F₁AB的周長(zhǎng)是|AB|+|AF₁|+|BF₁|=3+$\frac{3\sqrt{3}-1}{2}$+$\frac{1+3\sqrt{3}}{2}$=3+3$\sqrt{3}$．
故答案為：3+3$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形的周長(zhǎng)的求法，注意聯(lián)立直線方程和雙曲線的方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，同時(shí)考查雙曲線的定義和余弦定理的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．