Question

8．已知函數(shù)f（x）=sinx+λcosx（λ∈R）的圖象關(guān)于直線x=-$\frac{π}{4}$對(duì)稱，把函數(shù)f（x）的圖象上，每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再將所得函數(shù)圖象向右平移$\frac{π}{3}$個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)g（x）的圖象，則函數(shù)g（x）的一個(gè)對(duì)稱中心是（　�。�

• A． （$\frac{π}{6}$，0）
• B． （$\frac{π}{4}$，0）
• C． （$\frac{2π}{3}$，0）
• D． （$\frac{5π}{6}$，0）

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性利用特殊值法求出λ=-1，利用輔助角公式結(jié)合三角函數(shù)的圖象變換關(guān)系求出g（x）的解析式，利用三角函數(shù)的對(duì)稱性進(jìn)行求解即可．

解答 解：若函數(shù)f（x）=sinx+λcosx（λ∈R）的圖象關(guān)于直線x=-$\frac{π}{4}$對(duì)稱，
則f（0）=f（-$\frac{π}{2}$），
即sin0+λcos0=sin（-$\frac{π}{2}$）+λcos（-$\frac{π}{2}$），
即λ=-1，
則f（x）=sinx-cosx=$\sqrt{2}$sin（x-$\frac{π}{4}$），
函數(shù)f（x）的圖象上，每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變得到y(tǒng)=$\sqrt{2}$sin（$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{4}$），
再將所得函數(shù)圖象向右平移$\frac{π}{3}$個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)g（x）的圖象，即g（x）=$\sqrt{2}$sin[$\frac{1}{2}$（x-$\frac{π}{3}$）-$\frac{π}{4}$]=$\sqrt{2}$sin（$\frac{1}{2}$x-$\frac{5π}{12}$），
由$\frac{1}{2}$x-$\frac{5π}{12}$=kπ，得x=2kπ+$\frac{5π}{6}$，k∈Z
當(dāng)k=0時(shí)，函數(shù)的對(duì)稱中心為（$\frac{5π}{6}$，0），
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用三角函數(shù)的對(duì)稱性以及三角函數(shù)的圖象變換關(guān)系求出函數(shù)的解析式是解決本題的關(guān)鍵．