Question

14．F是雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點(diǎn)，過點(diǎn)F且垂直于一條漸近線的直線與另一條漸近線于點(diǎn)B，垂足為A，若2$\overrightarrow{FA}$+$\overrightarrow{FB}$=$\overrightarrow{0}$，則C的離心率e=（　�。�

• A． 2
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 求出雙曲線的漸近線方程，設(shè)出F（c，0），），由OA⊥FA，且OA的方程為y=$\frac{a}$x，OB的方程為y=-$\frac{a}$x，直線AB的方程為y=-$\frac{a}$（x-c），聯(lián)立直線方程解得A，B的坐標(biāo)，再由向量共線的坐標(biāo)表示，解得雙曲線的a，b，c和離心率公式計(jì)算即可得到所求值．

解答 解：雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，
設(shè)F（c，0），由OA⊥FA，
且OA的方程為y=$\frac{a}$x，OB的方程為y=-$\frac{a}$x，
直線AB的方程為y=-$\frac{a}$（x-c），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{a}x}\\{y=-\frac{a}（x-c）}\end{array}\right.$解得A（$\frac{{a}^{2}}{c}$，$\frac{ab}{c}$），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{a}x}\\{y=-\frac{a}（x-c）}\end{array}\right.$解得B（$\frac{c{a}^{2}}{{a}^{2}-^{2}}$，-$\frac{abc}{{a}^{2}-^{2}}$），
由2$\overrightarrow{FA}$+$\overrightarrow{FB}$=$\overrightarrow{0}$，可得2（$\frac{{a}^{2}}{c}$-c）+$\frac{c{a}^{2}}{{a}^{2}-^{2}}$-c=0，
由c²=a²+b²，化簡可得a²=3b²，
c²=$\frac{4}{3}$a²，可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故選：D．

點(diǎn)評 本題是對雙曲線的漸近線以及離心率的綜合考查，注意運(yùn)用向量共線的坐標(biāo)表示，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．