Question

3．如果一個函數(shù)f（x）在定義域D中滿足：①存在x₁，x₂∈D，且x₁≠x₂，使得f（x₁）=f（x₂）；②任意x₁，x₂∈D，f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）≤$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$，則f（x）可以是（　�。�

• A． f（x）=log₂x
• B． f（x）=-x²+2x
• C． f（x）=2^|x|
• D． f（x）=sinx

Answer 1

分析 根據(jù)條件分別進(jìn)行驗證，依次進(jìn)行判斷即可．

解答 解：A．f（x）=log₂x為單調(diào)遞增函數(shù)，不滿足條件①，
B．∵f（0）=0，f（1）=-1+2=1，f（$\frac{1}{2}$）=-$\frac{1}{4}+$2×$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{1}{2}$[f（0）+f（1）]=$\frac{1}{2}$，
則f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）≤$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$不成立，不滿足條件②，
D．f（x）=sinx的圖象不滿足條件．比如當(dāng)x₁=0，x₂=$\frac{π}{2}$時，f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）=f（$\frac{π}{4}$）=sin$\frac{π}{4}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$=$\frac{1}{2}$（0+1）=$\frac{1}{2}$，不滿足條件f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）≤$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$．
故選：C

點評 本題主要考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)定義轉(zhuǎn)化為進(jìn)行判斷或者使用排除法是解決本題的關(guān)鍵．