Question

14．已知函數(shù)f（x）的定義域為0，1]，且f（x）的圖象連續(xù)不間斷．若函數(shù)f（x）滿足：對于給定的m （m∈R且0＜m＜1），存在x₀∈[0，1-m]，使得f（x₀）=f（x₀+m），則稱f（x）具有性質(zhì)P（m）．
（1）已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-4x+1，0≤x≤\frac{1}{4}}\\{4x-1，\frac{1}{4}＜x＜\frac{3}{4}}\\{-4x+5，\frac{3}{4}≤x≤1}\end{array}\right.$，若f（x）具有性質(zhì)P（m），求m最大值；
（2）若函數(shù)f（x）滿足f（0）=f（1），求證：對任意k∈N^*且k≥2，函數(shù)f（x）具有性質(zhì)P（$\frac{1}{k}$）．

Answer 1

分析 （1）m的最大值為$\frac{1}{2}$．分類進行證明，當m=$\frac{1}{2}$時，函數(shù)f（x）具有性質(zhì)P（$\frac{1}{2}$）；假設(shè)存在$\frac{1}{2}$＜m＜1，使得函數(shù)f（x）具有性質(zhì)P（m），則0＜1-m＜$\frac{1}{2}$，證明不存在x₀∈（0，1-m]，使得f（x₀）=f（x₀+m）即可；
（2）任取k∈N^*且k≥2，設(shè)g（x）=f（x+$\frac{1}{k}$）-f（x），其中x∈[0，$\frac{k-1}{k}$]，利用疊加法可得g（0）+g（$\frac{1}{k}$）+…+g（$\frac{t}{k}$）+…+g（$\frac{k-1}{k}$）=f（1）-f（0）=0，分類討論：當g（0）、g（$\frac{1}{k}$）、…、g（$\frac{k-1}{k}$）中有一個為0時，函數(shù)f（x）具有性質(zhì)P（$\frac{1}{k}$）；當g（0）、g（$\frac{1}{k}$）、…、g（$\frac{k-1}{k}$）均不為0時，由于其和為0，則必然存在正數(shù)和負數(shù)，進而可證函數(shù)f（x）具有性質(zhì)P（$\frac{1}{k}$）．

解答 解：（1）m的最大值為$\frac{1}{2}$．
首先當m=$\frac{1}{2}$時，取x₀=$\frac{1}{2}$，則f（x₀）=f（$\frac{1}{2}$）=1，f（x₀+m）=f（$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}$）=f（1）=1
所以函數(shù)f（x）具有性質(zhì)P（$\frac{1}{2}$）                               （3分）
假設(shè)存在$\frac{1}{2}$＜m＜1，使得函數(shù)f（x）具有性質(zhì)P（m），則0＜1-m＜$\frac{1}{2}$．
當x₀=0時，x₀+m∈$（\frac{1}{2}，1）$，f（x₀）=1，f（x₀+m）＞1，f（x₀）≠f（x₀+m）；
當x₀∈（0，1-m]時，x₀+m∈（$\frac{1}{2}$，1]，f（x₀）＜1，f（x₀+m）≥1，f（x₀）≠f（x₀+m）；
所以不存在x₀∈（0，1-m]，使得f（x₀）=f（x₀+m），
所以，m的最大值為$\frac{1}{2}$．                                        …（7分）
（2）證明：任取k∈N^*且k≥2
設(shè)g（x）=f（x+$\frac{1}{k}$）-f（x），其中x∈[0，$\frac{k-1}{k}$]，則有g(shù)（0）=f（$\frac{1}{k}$）-f（0）
g（$\frac{1}{k}$）=f（$\frac{2}{k}$）-f（$\frac{1}{k}$）
…
g（$\frac{t}{k}$）=f（$\frac{t}{k}+\frac{1}{k}$）-f（$\frac{t}{k}$）
…
g（$\frac{k-1}{k}$）=f（1）-f（$\frac{k-1}{k}$）
以上各式相加得：g（0）+g（$\frac{1}{k}$）+…+g（$\frac{t}{k}$）+…+g（$\frac{k-1}{k}$）=f（1）-f（0）=0
當g（0）、g（$\frac{1}{k}$）、…、g（$\frac{k-1}{k}$）中有一個為0時，不妨設(shè)為g（$\frac{i}{k}$）=0，i∈{0，1，…，k-1}，
即g（$\frac{i}{k}$）=f（$\frac{i}{k}$+$\frac{1}{k}$）-f（$\frac{i}{k}$）=0，則函數(shù)f（x）具有性質(zhì)P（$\frac{1}{k}$）；
當g（0）、g（$\frac{1}{k}$）、…、g（$\frac{k-1}{k}$）均不為0時，由于其和為0，則必然存在正數(shù)和負數(shù)，
不妨設(shè)g（$\frac{i}{k}$）＞0，g（$\frac{j}{k}$）＜0，其中i≠j，i，j∈{0，1，…，k-1}，
由于g（x）是連續(xù)的，所以當j＞i時，至少存在一個${x}_{0}∈（\frac{i}{k}，\frac{j}{k}）$（當j＜i時，至少存在一個${x}_{0}∈（\frac{i}{k}，\frac{j}{k}）$）
使得g（x₀）=0，
即g（x₀）=f（${x}_{0}+\frac{1}{k}$）-f（x₀）=0
所以，函數(shù)f（x）具有性質(zhì)P（$\frac{1}{k}$）                     …（12分）

點評 本題考查新定義，考查分類討論的數(shù)學思想，考查學生分析解決問題的能力，難度較大．