Question

3．已知函數(shù)$f（x）=\sqrt{3}sinxcosx+{cos^2}x$．
（Ⅰ）求$f（\frac{π}{6}）$的值；
（Ⅱ）當(dāng)$x∈[-\frac{π}{2}，0]$時(shí)，求f（x）的最小值以及取得最小值時(shí)x的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用特殊角的三角函數(shù)值計(jì)算即可得解．
（Ⅱ）利用三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用化簡(jiǎn)函數(shù)解析式可得f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，由-$\frac{π}{2}$≤x≤0，可得-$\frac{5π}{6}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{6}$，利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可得解．

解答 （本題滿分為9分）
解：（I）$f（\frac{π}{6}）$=$\sqrt{3}$sin$\frac{π}{6}$cos$\frac{π}{6}$+cos²$\frac{π}{6}$
=$\sqrt{3}×\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{3}{4}$，…（3分）
=$\frac{3}{2}$．…（4分）
（II）$f（x）=\sqrt{3}sinxcosx+{cos^2}x$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{1}{2}$，…（2分）
=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$．…（4分）
因?yàn)?$\frac{π}{2}$≤x≤0，
所以-$\frac{5π}{6}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{6}$，…（6分）
當(dāng)2x+$\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{2}$，即x=-$\frac{π}{3}$時(shí)，函數(shù)取得最小值f（-$\frac{π}{3}$）=-$\frac{1}{2}$．
所以f（x）的最小值為-$\frac{1}{2}$此時(shí)x=-$\frac{π}{3}$．…（9分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，三角函數(shù)圖象與性質(zhì)．考查了學(xué)生對(duì)三角函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)的綜合運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題．