Question

9．已知函數(shù)f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{{x^2}+x+1，x≤1}\\{5x-2，x＞1}\end{array}}\right.$，若方程f（x）=m有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x₁、x₂，且x₁+x₂＜-1，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（3，13）．

Answer 1

分析 作出函數(shù)f（x）的圖象，根據(jù)分段函數(shù)的關(guān)系，結(jié)合一元二次函數(shù)的對(duì)稱性，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可．

解答 解：作出函數(shù)f（x）的圖象如圖：紅色部分，
由x²+x+1=5x-2得x²-4x+3=0得x=1或x=3，
即y=x²+x+1與y=5x-2的交點(diǎn)坐標(biāo)為（1，3），（3，12），
當(dāng)x≤1時(shí)，y=x²+x+1=（x+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$，拋物線的對(duì)稱軸為x=-$\frac{1}{2}$，
若方程f（x）=m有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x₁、x₂，
則m＞$\frac{3}{4}$，
若x₁+x₂＜-1，
則$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$＜$-\frac{1}{2}$，
即兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)（x₁、f（x₁）），（x₂、f（x₂））的中點(diǎn)在x=-$\frac{1}{2}$的左側(cè)，
即當(dāng)x＞1時(shí)，x²+x+1＜5x-2，即1＜x＜3，
此時(shí)3＜f（x）＜13，
即3＜m＜13，
故答案為：（3，13）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查分段函數(shù)的應(yīng)用，利用一元二次函數(shù)的對(duì)稱性，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．