Question

17．如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點(diǎn)E是棱BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是棱CD的中點(diǎn)．
（1）求證：EF∥B₁D₁；
（2）求二面角C₁-EF-A的大�。ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示）．

Answer 1

分析 （1）以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明EF∥B₁D₁．
（2）求出平面C₁EF的一個(gè)法向量和平面ABCD的一個(gè)法向量，利用向量法求出二面角C₁-EF-A的大�。�

解答 證明：（1）如圖，以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系．（1分）
則 ${D_1}（0，0，1），{B_1}（1，1，1），E（\frac{1}{2}，1，0），F(xiàn)（0，\frac{1}{2}，0），{C_1}（0，1，1）$，
$\overrightarrow{EF}=（-\frac{1}{2}，-\frac{1}{2}，0）$，$\overrightarrow{{B_1}{D_1}}=（-1，-1，0）$（4分
∴$\overrightarrow{{B_1}{D_1}}=2\overrightarrow{EF}$．（5分）
∴EF∥B₁D₁．（6分）
解：（2）設(shè)$\overrightarrow{n_1}=（u，v，w）$是平面C₁EF的一個(gè)法向量．
$\overrightarrow{F{C}_{1}}$=（0，$\frac{1}{2}，1$），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{F{C}_{1}}=\frac{1}{2}v+w=0}\\{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{EF}=-\frac{1}{2}u-\frac{1}{2}v=0}\end{array}\right.$，取w=1，得$\overrightarrow{n_1}=（2，-2，1）$（9分）
因?yàn)镈D₁⊥平面ABCD，所以平面ABCD的一個(gè)法向量是$\overrightarrow{n_2}=（0，0，1）$（10分）
設(shè)$\overrightarrow{n_1}$與$\overrightarrow{n_2}$的夾角為α，則$cosα=\frac{{\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{n_2}}}{{|\overrightarrow{n_1}|•|\overrightarrow{n_2}|}}=\frac{1}{3}$…（11分）
結(jié)合圖形，判別得二面角C₁-EF-A是鈍角，
∴二面角C₁-EF-A的大小為$π-arccos\frac{1}{3}$…（12分）

點(diǎn)評 本題考查線線平行的證明，考查二面角的大小的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．