Question

8．已知f（x）=2^x，g（x）=|x-1|，令f₁（x）=g（f（x）），f_n+1（x）=g（f_n（x）），則方程f₉（x）=1的所有解的和為（　�。�

• A． 30
• B． 25
• C． 7+log₂3
• D． 8+log₂15

Answer 1

分析 利用特殊值法分別求出f₁（x），f₂（x），f₃（x），f₄（x）的解的情況，從而找到規(guī)律，進(jìn)而求出f₉（x）的解的情況，可得它的和．

解答 解：∵f（x）=2^x，g（x）=|x-1|，
∴n=0時(shí)：f₁（x）=g（2^x）=|2^x-1|，
令|2^x-1|=1，方程f₁（x）=1的解為x=1；
n=1時(shí)：f₂（x）=g（|2^x-1|）=||2^x-1|-1|，
令||2^x-1|-1|=1，方程f₂（x）=1的解為x=0或log₂3；
n=2時(shí)：f₃（x）=|||2^x-1|-1|-1|，
令|||2^x-1|-1|-1|=1，方程f₃（x）=1的解為x=1或2；
n=3時(shí)：f₄（x）=||||2^x-1|-1|-1|-1|，
令||||2^x-1|-1|-1|-1|=1，方程f₄（x）=1的解為x=0或log₂3或log₂5；
…，
當(dāng)n=8時(shí)，即有方程f₉（x）=1，去絕對(duì)值有2^x-1=±1，±3，±5，±7，±9，
解得x=1，2，log₂6，3，log₂10，
相加可得和為6+log₂6+log₂10=8+log₂15．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)問題，注意運(yùn)用函數(shù)的思想和去絕對(duì)值的方法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．