Question

3．為了調(diào)研某地區(qū)男性的身高情況，研究機(jī)構(gòu)在該地區(qū)隨機(jī)抽取了30位不同的男性居民進(jìn)行身高測量，現(xiàn)將數(shù)據(jù)整理如下（單位：cm）：
157 168 169 172 159 175 175 176 176 191 159 159 173 174
180 181 170 181 187 157 158 161 162 164 165 178 168 182 184
（1）請(qǐng)將上述數(shù)據(jù)整理并繪制在如圖的莖葉圖中；
（2）用樣本估計(jì)總體若從該地區(qū)所有男性居民中隨機(jī)選取4人，記4人中身高超過175cm的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）由該地區(qū)隨機(jī)抽取了30位不同的男性居民身高測量數(shù)據(jù)，能作出莖葉圖．
（2）抽取30人中10人身高超過175cm，概率為$\frac{1}{3}$，X的可能取值為0，1，2，3，4，且X～B（4，$\frac{1}{3}$），由此能求出X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）由該地區(qū)隨機(jī)抽取了30位不同的男性居民身高測量數(shù)據(jù)，能作出莖葉圖：
（2）抽取30人中10人身高超過175cm，概率為$\frac{1}{3}$，
X的可能取值為0，1，2，3，4，且X～B（4，$\frac{1}{3}$），
P（X=0）=（$\frac{2}{3}$）⁴=$\frac{16}{81}$，
P（X=1）=${C}_{4}^{1}（\frac{1}{3}）（\frac{2}{3}）^{3}$=$\frac{32}{81}$，
P（X=2）=${C}_{4}^{2}（\frac{1}{3}）^{2}（\frac{2}{3}）^{2}$=$\frac{24}{81}$，
P（X=3）=${C}_{4}^{3}（\frac{1}{3}）^{3}（\frac{2}{3}）$=$\frac{8}{81}$，
P（X=4）=$（\frac{1}{3}）^{4}$=$\frac{1}{81}$，
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3	4
P	$\frac{16}{81}$	$\frac{32}{81}$	$\frac{24}{81}$	$\frac{8}{81}$	$\frac{1}{81}$

∵X～B（4，$\frac{1}{3}$），∴EX=$\frac{4}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查莖葉圖的作法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意排列組合知識(shí)的合理運(yùn)用．