Question

16．過直線2x-y+3=0和圓x²+y²+2x-4y+1=0交點且面積最小的圓的方程為（　�。�

• A． （x+$\frac{3}{5}$）²+（y-$\frac{9}{5}$）²=$\frac{19}{5}$
• B． （x-$\frac{3}{5}$）²+（y-$\frac{9}{5}$）²=$\frac{19}{5}$
• C． （x-$\frac{3}{5}$）²+（y+$\frac{9}{5}$）²=$\frac{19}{5}$
• D． 以上都不對

Answer 1

分析 由已知圓可得圓心半徑，可得弦長，再求出過圓心且垂直于已知直線的直線方程，解方程組可得圓心，可得圓的方程．

解答 解：配方可得（x+1）²+（y-2）²=4，∴圓心坐標為（-1，2），半徑為2，
弦心距d=$\frac{|-2-2+3|}{\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，弦長為2$\sqrt{{2}^{2}-（\frac{\sqrt{5}}{5}）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{95}}{5}$，
過圓x²+y²+2x-4y+1=0的圓心和直線2x-y+3=0垂直的直線方程為y-2=-$\frac{1}{2}$（x+1），即x+2y-3=0．
最小的圓的圓心為2x-y+3=0與直線x+2y-3=0的交點，解方程組可得（-$\frac{3}{5}$，$\frac{9}{5}$），
∴所求面積最小的圓方程為：（x+$\frac{3}{5}$）²+（y-$\frac{9}{5}$）²=（$\frac{\sqrt{95}}{5}$）²=$\frac{19}{5}$，
故選：A．

點評 本題考查直線與圓的位置關(guān)系，得出面積最小的圓即是以此弦為直徑的圓是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．