Question

已知半徑為2的定圓C外一定點(diǎn)A，且AC=4，在圓上任取一點(diǎn)P，以AP為一邊逆時(shí)針作等邊△APQ，當(dāng)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，建立適當(dāng)?shù)臉O坐標(biāo)系，求點(diǎn)Q軌跡的極坐標(biāo)方程，并轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程．

Answer 1

考點(diǎn)：簡單曲線的極坐標(biāo)方程

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：如圖所示，以點(diǎn)A為極點(diǎn)，AC為極軸建立極坐標(biāo)系．設(shè)Q（ρ，θ），則|AP|=ρ，∠PAC=θ-60°．在△APC中，利用余弦定理可得：PC²=AP²+AC²-2AP•ACcos（θ-60°），化簡即可得出點(diǎn)Q的極坐標(biāo)方程，再利用

x=ρcosθ y=ρsinθ

即可得到直角坐標(biāo)方程．

解答： 解：如圖所示，以點(diǎn)A為極點(diǎn)，AC為極軸建立極坐標(biāo)系．
設(shè)Q（ρ，θ），則|AP|=ρ，∠PAC=θ-60°．
在△APC中，利用余弦定理可得：PC²=AP²+AC²-2AP•ACcos（θ-60°），
∴2²=ρ²+4²-2×4ρcos（θ-60°），
化為ρ²-8ρcos（θ-60°）+12=0，即為點(diǎn)Q的極坐標(biāo)方程．
展開為ρ²-8ρ(

1

2

cosθ+

3

2

sinθ)+12=0，
∴x2+y2-4x-4

3

y+12=0即為點(diǎn)Q的直角坐標(biāo)方程．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、余弦定理的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．