Question

3．如圖，已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0），A（2，0）是長軸的一個(gè)端點(diǎn)，弦BC過橢圓的中心O，且$\overrightarrow{AC}$$•\overrightarrow{BC}$=0，|$\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}|$=2|$\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA}$|．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)P、Q為橢圓上異于A，B且不重合的兩點(diǎn)，且∠PCQ的平分線總是垂直于x軸，是否存在實(shí)數(shù)λ，使得$\overrightarrow{PQ}$=λ$\overrightarrow{AB}$，若存在，請(qǐng)求出λ的最大值，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知條件推導(dǎo)出△AOC是等腰直角三角形，C（1，1），由點(diǎn)C在橢圓上，得$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{1}{^{2}}=1，a=2$，由此能求出橢圓方程．
（Ⅱ）對(duì)于橢圓上兩點(diǎn)P，Q，由∠PCQ的平分線總是垂直于x軸，知PC與CQ所在直線關(guān)于x=1對(duì)稱，k_PC=k，則k_CQ=-k，PC的直線方程為y=k（x-1）+1，QC的直線方程為y=-k（x-1）+1，由此求出PQ∥AB，從而得到存在實(shí)數(shù)λ，使得$\overrightarrow{PQ}$=λ$\overrightarrow{AB}$，求出|$\overrightarrow{PQ}$|的最大值，即可得出結(jié)論．

解答 解：（I）∵$\overrightarrow{AC}$$•\overrightarrow{BC}$=0，∴∠ACB=90°，
又|$\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}|$=2|$\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA}$|，即|$\overrightarrow{BC}$|=2|$\overrightarrow{AC}$|，
∴△AOC是等腰直角三角形  …（2分）
∵A（2，0），∴C（1，1），
而點(diǎn)C在橢圓上，∴$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{1}{^{2}}=1，a=2$
∴b²=$\frac{4}{3}$，
∴所求橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{3{y}^{2}}{4}=1$；                                 …（4分）
（II）對(duì)于橢圓上兩點(diǎn)P，Q，
∵∠PCQ的平分線總是垂直于x軸，
∴PC與CQ所在直線關(guān)于x=1對(duì)稱，
k_PC=k，則k_CQ=-k，…（6分）
∵C（1，1），∴PC的直線方程為y=k（x-1）+1，①
QC的直線方程為y=-k（x-1）+1，②
將①代入$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{3{y}^{2}}{4}=1$得（1+3k²）x²-6k（k-1）x+3k²-6k-1=0，③
∵C（1，1）在橢圓上，∴x=1是方程③的一個(gè)根，∴x_P=$\frac{3{k}^{2}-6k-1}{1+3{k}^{2}}$…（8分）
以-k替換k，得到x_Q=$\frac{3{k}^{2}+6k-1}{3{k}^{2}+1}$．
∴k_PQ=$\frac{k（{x}_{P}+{x}_{Q}）-2k}{{x}_{P}-{x}_{Q}}$=$\frac{1}{3}$
∵∠ACB=90°，A（2，0），C（1，1），弦BC過橢圓的中心O，
∴A（2，0），B（-1，-1），∴k_AB=$\frac{1}{3}$，
∴k_PQ=k_AB，∴PQ∥AB，
∴存在實(shí)數(shù)λ，使得$\overrightarrow{PQ}$=λ$\overrightarrow{AB}$  …（10分）
|$\overrightarrow{PQ}$|=$\sqrt{（\frac{-12k}{1+3{k}^{2}}）^{2}+（\frac{-4k}{1+3{k}^{2}}）^{2}}$=$\sqrt{\frac{160}{9{k}^{2}+\frac{1}{{k}^{2}}+6}}$≤$\frac{2\sqrt{30}}{3}$
當(dāng)$9{k}^{2}=\frac{1}{{k}^{2}}$時(shí)即k=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$時(shí)取等號(hào)，
又|$\overrightarrow{AB}$|=$\sqrt{10}$，λ_max=$\frac{\frac{2\sqrt{30}}{3}}{\sqrt{10}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$                      …（13分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的求法，考查滿足條件的實(shí)數(shù)是否存在的判斷與求法，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．