Question

11．直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=AB=AC=1，E，F(xiàn)分別是CC₁，BC的中點(diǎn)，AE⊥A₁B₁，D為棱A₁B₁上的點(diǎn)．
（1）證明：AB⊥AC；
（2）證明：DF⊥AE；
（3）是否存在一點(diǎn)D，使得平面DEF與平面ABC所成銳二面角的余弦值為$\frac{{\sqrt{14}}}{14}$？若存在，說(shuō)明點(diǎn)D的位置，若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理證明AB⊥面A₁ACC₁．即可．
（2）建立空間坐標(biāo)系，求出直線對(duì)應(yīng)的向量，利用向量垂直的關(guān)系進(jìn)行證明．
（3）求出平面的法向量，利用向量法進(jìn)行求解即可．

解答 （1）證明：∵AE⊥A₁B₁，A₁B₁∥AB，∴AE⊥AB，
又∵AA₁⊥AB，AA₁∩AE=A，∴AB⊥面A₁ACC₁．
又∵AC?面A₁ACC₁，∴AB⊥AC，
（2）以A為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，
則有$A（{0，0，0}），E（{0，1，\frac{1}{2}}），F(xiàn)（{\frac{1}{2}，\frac{1}{2}，0}），{A_1}（{0，0，1}），{B_1}（{1，0，1}）$，
設(shè)$D（{x，y，z}），\overrightarrow{{A_1}D}=λ\overrightarrow{{A_1}{B_1}}$且λ∈（0，1），
即（x，y，z-1）=λ（1，0，0），則D（λ，0，1），∴$\overrightarrow{DF}=（{\frac{1}{2}-λ，\frac{1}{2}，-1}）$，
∵$\overrightarrow{AE}=（{0，1，\frac{1}{2}}）$，∴$\overrightarrow{DF}•\overrightarrow{AE}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=0$，所以DF⊥AE；
（3）結(jié)論：存在一點(diǎn)D，使得平面DEF與平面ABC所成銳二面角的余弦值為$\frac{{\sqrt{14}}}{14}$，理由如下：
由題可知面ABC的法向量$\overrightarrow n=（{0，0，1}）$，設(shè)面DEF的法向量為$\overrightarrow n=（{x，y，z}）$，
則$\left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow n•\overrightarrow{FE}=0}\\{\overrightarrow n•\overrightarrow{DF}=0}\end{array}}\right.$，
∵$\overrightarrow{FE}=（{-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}，\frac{1}{2}}），\overrightarrow{DF}=（{\frac{1}{2}-λ，\frac{1}{2}，-1}）$，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}z=0}\\{（{\frac{1}{2}-λ}）x+\frac{1}{2}y-z=0}\end{array}}\right.$，即$\left\{{\begin{array}{l}{x=\frac{3}{{2（{1-λ}）}}z}\\{y=\frac{1+2λ}{{2（{1-λ}）}}z}\end{array}}\right.$，
令z=2（1-λ），則$\overrightarrow n=（{3，1+2λ，2（{1-λ}）}）$．
∵平面DEF與平面ABC所成銳二面角的余弦值為$\frac{{\sqrt{14}}}{14}$，
∴$|{cos\left?{\overrightarrow m，\overrightarrow n}\right＞}|=\frac{{|{\overrightarrow m•\overrightarrow n}|}}{{|{\overrightarrow m}||{\overrightarrow n}|}}=\frac{{\sqrt{14}}}{14}$，
即$\frac{{|{2（{1-λ}）}|}}{{\sqrt{9+{{（{1+2λ}）}^2}+4{{（{1-λ}）}^2}}}}=\frac{{\sqrt{14}}}{14}$，
解得$λ=\frac{1}{2}$或$λ=\frac{7}{4}$（舍），
所以當(dāng)D為A₁B₁中點(diǎn)時(shí)滿足要求．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是空間直線的垂直的判斷以及空間二面角的平面角，建立空間坐標(biāo)系，將二面角問題轉(zhuǎn)化為向量夾角問題，是解答的關(guān)鍵．考查學(xué)生的運(yùn)算和推理能力．